Hatoldalú szabályos gúlából maximális térfogatú kúpot csiszolunk. Hány százalék a hulladék?

1. Kiszámolod a térfogatát

2. Kiszámolod egy olyan kúp térfogatát aminek a magassága ugyanaz, az alapjának sugara pedig a gúla lapjának közepéig ér.

3. A két értékből százalékot számolsz

Ha nem adtak meg semmit, akkor általánosan meg lehet adni;

Legyen a gúla alapéle x, testmagassága M.

A gúla alaplapja felbontható 6 darab x oldalú szabályos háromszögre. A szabályos háromszög területét az x^2*gyök(3)/4 képlet határozza meg. Ebből van 6, tehát a szabályos hatszög területe 6*x^2*gyök(3)/4 = 1,5*x^2*gyök(3). Ezt szorozva a testmagassággal és 3-mal osztva kapjuk a térfogatot: 1,5*x^2*gyök(3)*M/3 = 0,5*x^2*gyök(3)*M.

A kúp alapkörének a sugara megegyezik az előbbi szabályos háromszögek magasságával, ami x*gyök(3)/2 hosszú. Az alapkör területe (x*gyök(3))/2)^2*pi = x^2*0,75*pi, ez szorozva a testmagassággal és osztva 3-mal: x^2*0,25*pi*M.

A kettő különbsége adja a hulladék térfogatát: 0,5*x^2*gyök(3)*M - x^2*0,25*pi*M, ezt osztjuk a gúla térfogatával:

(0,5*x^2*gyök(3)*M - x^2*0,25*pi*M)/0,5*x^2*gyök(3)*M, ez pedig egyszerűsíthető: 1 - 0,5*pi/gyök(3) =~ 0,0931 = 9,31%

Furcsa módon a hulladék aránya az eredeti testhez képest nem változik az adatok függvényében, mindig ennyi lesz az érték.