Hogyan kéne az alábbi egyenleteket megoldanom?

1) A kotangenseket átírod tangensekre, és egy másodfokúra visszavezethető egyenleted lesz)

2) Biztos nem jó, az x^3 ki fog esni menet közben.

3) Eddig jó. Mi „érdekes” jött ki?

Most látom csak, hogy a másodiknál az alapok sem egyeznek meg...

Első körben átírjuk a 9-es alapú logaritmust 3-as alapúra a log(a)[b] = log(c)[b]/log(c)[a] képlet alapján, így kapjuk belőle ezt:

log(9)[x + 3] = log(3)[x+3]/log(3)[9], a nevező értéke 2, így ezt kapjuk:

log3(x^3 + 4x^2 + x - 6) - log3(x + 3) = 2log3(gyök(3 - x))

Rendezés és a logaritmusok eltüntetése után ez marad:

x^3 + 4x^2 + x - 6 = 9 - x^2, ezután

x^3 + 5x^2 + x - 15 = 0, szóval akkor jól csináltad.

A következő lépés itt eléggé nehéz, és sok ilyen feladatot kell csinálnia az embernek, hogy "belelássa" a dolgokat. Most azt tudjuk csinálni, hogy az 5x^2-et szétszedjük:

x^3 + 3x^2 + 2x^2 + x - 15 = 0

A jobb átláthatóság kedvéért:

(x^3 + 3x^2) + (2x^2 + x - 15) = 0

Az első zárójelben ki tudunk emelni x2-et: x^2*(x+3)

A második zárójelben lévő másodfokú kifejezést a tanult módon szorzattá tudjuk bontani: 2*(x+3)*(x-5/2)

Tehát itt tartunk:

x^2*(x+3) + 2*(x+3)*(x-5/2) = 0

És itt újra ki tudunk emelni (x+3)-at:

(x+3)*(x^2+2*(x-5/2)) = 0

És ezt az egyenletet már meg tudjuk oldani.

Ne felejtsd el a kapott megoldásokat tesztelni, hogy az eredetinek valóban megoldásai-e!

Bevallom őszintén, hogy nekem is kellett egy kis segítség, hogy rájöjjek a megfelelő szétbontásra. Ha az egyenletnek van egész megoldása, akkor van egy alternatív mód, amivel ki lehet szűrni a jelölteket, és nem is olyan nehéz. Egyszerűen így átalakítjuk az egyenletet:

x*(x^2 + 5x + 1) = 15

A bal oldalon egy szorzat van. Ha x egész, akkor az eredménye is egész lesz. Ez pedig csak úgy lehet, hogyha a két szorzótényező osztója a 15-nek az osztó lehet negatív is!), tehát a lehetséges számok: -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15. Nyilvánvaló okokból a pozitívak máris kilőve, így csak a negatívakat kell végigtesztelnünk. Erre azt kapjuk, hogy x=-3 megoldása ennek az egyenletnek, tehát valahogy úgy kellene bűvészkedni, hogy az (x+3) kiemelhető legyen.

Másik lehetőség egyébként, hogy új ismeretlent vezetünk be; ha x=-3, akkor egy x=t-3 helyettesítés esetén az egyenletnek t=0 megoldása lesz, és az azért jó nekünk, mert akkor ki fogunk tudni emelni t-t, így egy másodfokú egyenletet fogunk majd kapni.

A helyettesítés után ezt kapjuk:

(t-3)^3 + 5*(t-3)^2 + (t-3) - 15 = 0, elvégezve a rendezést:

t^3 - 4t^2 - 2t = 0, kiemeljük a t-t:

t*(t^2-4t-2) = 0, és ezt meg tudjuk minden gond nélkül oldani t-re, amiből majd az eredeti x-eket is megkapjuk.

De lehet polinomosztással is továbbhaladni, ha azt már tanultál.