Határozd meg az össze olyan p prímszámot, melyre a 2p+3, 3p+4, 4p+3, és 6p+1 is prímszám! Válaszaid indokold! Hogy oldjam ezt meg?

Az 5 az egyetlen legoldás. Hogy az 5 teljesíti a feltételeket, azt könnyű belátni. Hogy ez az egyetlen megoldás, azt úgy a legegyszerűbb bizonyítani, hogy először feltételezzük az ellenkezőjét (hogy létezik ilyen szám), és ellentmondásra vezetjük a gondolatmenetet. Induljunk ki tehát abból, hogy létezik egy 5-nél nagyobb prímszám, nevezzük p-nek, ami szintén teljesíti a fenti feltételeket.

Egy 5-nél nagyobb prímszám milyen maradékot adhat 5-tel osztva? 1-et, 2-t, 3-at vagy 4-et. 5-öt/0-t nem, mert akkor 5-tel osztható lenne, és nem lenne prímszám. Ha p 5-tel osztva 1-et ad maradékul, akkor az első feltétel nem teljesül (2p + 3 osztható 5-tel). Ha kettő ez a maradék, a második feltétel nem teljesül (3p + 4 osztható 5-tel). Ha 3 a maradék, a 3. feltétel, és ha 4, akkor a 4. feltétel nem teljesül (számolj utána). Több lehetőség nincs a maradékokra 5-tel osztva, vagyis ellentmondásra jutottunk. Ebből az következik, hogy nincs ilyen p (5-nél nagyobb prímszám), ami teljesítené a kiindulási feltételeket.

Én is erre jutottam.

Amit hozzá tudok tenni, az annyi, hogy hogyan:

Egy excel tábla egyik oszlopába elkezdtem írni a prímeket. Az első sorban melléírtam a 2p+3, 3p+4, 4p+3 és 6p+1 képleteket. Utána kijelöltem és "lehúzással" kopiztam az első sor képleteit. Egyből látszott, hogy az öttel való oszthatóság miatt buknak el a számok.

Ha az embernek nincs ötlete, akkor segíhet néhány érték kiszámolása.