Valaki tud segíteni?

Az első prímszám, agyas.

(24 * 2) + 1 = 49

és 7*7 = 49

#1, mivel találtál egy megoldást, nem biztos, hogy nincs másik, te agyas...

Szóval ezt kell megoldanunk:

24p + 1 = k^2, kivonunk 1-et:

24p = k^2 - 1, a jobb oldalon szorzattá tudunk alakítani:

24p = (k+1)*(k-1)

A bal oldal biztosan páros. Mivel a jobb oldalon a két szám között 2 a különbség mindig, ezért vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan. Ha mindkettő páratlan, akkor a szorzatuk is páratlan, az pedig nem lesz jó, akkor pedig csak párosak lehetnek, ekkor pedig az egyenletet tudjuk 4-gyel osztani a következő módon:

6p = ((k+1)/2) * ((k-1)/2)

A bal oldalon két prím szorzata látható, a jobb oldalon pedig két egész szám szorzata. Így csak az a kérdés, hogy a 6p hogyan írható fel két egész szám szorzataként. Ehhez érdemes felírni a szám prímtényezős alakját: 6p = 2*3*p, ennek a tanultak alapján 2*2*2=8 osztója van, ezek: 1, 2, 3, 6, p, 2p, 3p, 6p, illetve ez csak akkor igaz, hogyha p sem 2, sem 3, de ezeket az eseteket tudjuk manuálisan tesztelni (a p=2 jó lesz, a p=3 nem). Így tehát felírhatjuk a lehetséges szorzatokat, amiből 8 lesz: 1*6p (és fordítva), 2*3p (és fordítva), 3*2p (és fordítva), 6*p (és fordítva).

Ezen a ponton egyenletrendszerrel kellene továbbhaladni, de ha ügyesek vagyunk, rá tudunk jönni egy fontos dologra; az egyenlet jobb oldalán a két tényezőt ha kivonjuk egymásból:

(k+1)/2 - (k-1)/2 = ... = 2/2 = 1, tehát két egymást követő egész számunk van, emiatt elég csak azt megnézni, hogy a szorzatokban ha elől a nagyobb szám áll, akkor utána 1-gyel kisebbnek kell állnia;

1*6p = 1*0, tehát 6p=0, amire p=0-t kapjuk, viszont a 0 nem prímszám.

2*3p = 2*1, tehát 3p=1, amire p=1/2-ot kapjuk, ami szintén nem prím.

3*2p = 3*2, tehát 2p=2, erre p=1 jön, ami még mindig nem prím.

6*p = 6*5, vagyis p=5, ez egy jó megoldás.

A fordítottakra:

6p*1 = 2*1, vagyis 6p=2, erre p=1/3 lesz, nem jó.

3p*2 = 3*2, vagyis 3p=3, erre p=1 nem prím.

2p*3 = 4*3, vagyis 2p=4, itt pedig p=2 adódik. Egyrészt a p=2-t megtaláltuk, másrészt a vizsgált módszer miatt p értéke most nem lehet 2. De mindegy is, mert már megtaláltuk.

p*6 = 7*6, tehát p=7, ami szintén jó megoldás.

Mivel más lehetőségünk nincsen, ezért 3 megoldás van: p=2 (49), p=5 (121), p=7 (169).

Lehet, hogy van szebb megoldás, én ezt találtam.

„A bal oldalon két prím szorzata látható”

Ez a rész véletlenül maradt benne, mert először rosszul számoltam. A 6p nem két prím szorzatát jelöli.

#1 "Agyas", ez nem levezetés.

Mely számok négyzetének 24-el való osztási maradéka =1?

Ha az n szám maradéka m, n^2 maradéka = m^2 maradéka = k, akkor:

m: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 és ismétlődés...

k: 00 01 04 09 16 01 12 01 16 09 04 01 és ismétlődés...

-1 __ 00 __ __ __ 00 __ 00 __ __ __ 00 és ismétlődés...

Tehát azon számok négyzetének lesz 24-el maradéka 1, ahol a szám:

12t+1

12t+5

12t+7 vagy

12t+11 alakú

144t^2+24tm+m^2=24p+1

144t^2+24tm+m^2-1=24p

(144t^2+24tm+m^2-1)/24 = p alakú prímeket keresünk.

1: p=6t^2+t=t(6t+1)

5: p=6t^2+5t+1=(2t+1)(3t+1)

7: p=6t^2+7t+2=(2t+1)(3t+2)

11:p=6t^2+11t+5=(t+1)(6t+5)

1: t=1 p=7 ami prím és az egyetlen megoldás

5: nincs prím eredmény

7: t=0 p=2 ami prím és az egyetlen megoldás

11:t=0 p=5 ami prím és az egyetlen megoldás

Összesítve tehát:

24*7+1=169=13^2

24*2+1=49=7^2

24*5+1=121=11^2

Nem tudom van e ennél egyszerűbb és nem-e túlbonyolítottam.