11 darab nem negatív egész számról tudjuk, hogy egyetlen móduszuk a 2, mediánja 3, átlaga 4 és terjedelme 5. Melyik ez a 11 darab szám, ha a szórás ~2,22?

Szóval van 11 darab számunk:

X X X X X X X X X X X

A medián 3, tehát a (sorbarendezett) elemek közepe 3:

X X X X X 3 X X X X X

A módusz 2, tehát abból kell, hogy a legtöbb legyen. Mivel egész számokról van szó, a terjedelem pedig 5, ezért hatféle számunk van, így a 2-t kivéve valamelyikből biztosan van legalább kettő darab, tehát 3 darab 2-esnek kell lennie:

X X 2 2 2 3 X X X X X

Az adatok alapján a többi számról nem tudunk biztosat mondani, így azokat jelöljük a,b,c,... betűkkel, ahol a számok ebben a sorrendben a többi számmal együtt növekvő (nem csökkenő) számsorozatot alkotnak:

a b 2 2 2 3 c d e f g, illetve még annyit tudunk, hogy g-a=5, vagyis g=a+5:

a b 2 2 2 3 c d e f a+5

Ezek szórása így fog kinézni:

gyök[((a-4)^2 + (b-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (3-4)^2 + (c-4)^2 + (d-4)^2 + (e-4)^2 + (f-4)^2 + (a+5-4)^2)/11], ennek kell ~2,22-nek lennie. Azt tudjuk, hogy itt a következő lépés az, hogy négyzetre emelünk, majd 11-gyel szorzunk, viszont ezen két művelet után egész számot kell kapnunk eredményül (lévén egész számokat adunk össze). A 2,22-ot kerekítéssel a 2,215-től a 2,225-ig terjedő számokból kaphatjuk meg (a 2,225 már nincs benne), tehát azt tudjuk, hogy

2,215 <= gyök(valami/11) < 2,225, rendezés után

53,968745 <= valami < 54,456875

Mivel a "valami" egész szám kell, hogy legyen, ezért csak az 54 jöhet számításba.

Ellenőrzés:

gyök(53/11) =~ 2,20, ez kevés

gyök(54/11) =~ 2,22, ez jó

gyök(55/11) =~ 2,24, ez pedig már sok.

Tehát valóban csak az 54 lehet a négyzetek összege.

Tehát itt tartunk:

(a-4)^2 + (b-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (3-4)^2 + (c-4)^2 + (d-4)^2 + (e-4)^2 + (f-4)^2 + (a+5-4)^2 = 54, újabb rendezés:

(a-4)^2 + (b-4)^2 + (c-4)^2 + (d-4)^2 + (e-4)^2 + (f-4)^2 + (a+1)^2 = 41

Most jelenleg ott tartunk, hogy 7 darab négyzetszám összege kell, hogy 41 legyen. Az a értéke mindenképp 0 vagy 1 vagy 2, a c;d;e;f számok értéke legalább 3 és legfeljebb 7 (de ez függ a értékétől is), emiatt azt vehetjük észre, hogy a legnagyobb szám, amit a négyzetre emeléssel kaphatunk, a 16.

Ezen a ponton nem volt épkézláb ötletem, szóval ágrajzzal összeszedtem a lehetséges eseteket. Összesen 5 lehetséges összeget találtam:

16+16+9+0+0+0+0: ha a=0, úgy tud kijönni a 16, viszont ekkor (a+1)^2=(0+1)^2=1, 1-esünk viszont nincs, tehát ez nem lesz jó.

16+16+4+4+1+0+0: a=0 és b=0, az a+1 miatt az 1, így marad 4+4+0+0. 0 csak 4-essel jöhet ki, így 4+4 marad, ezek pedig csak 6-osokkal, viszont ekkor a terjedelem nem 5 lesz, hanem 6 (6-0=6), tehát nem jó.

16+9+9+4+1+1+1: a=0, b=1, az a+1 miatt 1, így marad 9+4+1+1, a másik 9-es csak 7-essel jöhet ki, így megint nem lesz jó a terjedelem.

16+9+4+4+4+4+0: a=0, de nincs 1-es.

9+9+9+9+4+1+0: a=1, b=1, ezzel két 9-es kiesik, a másik két 9-eshez szükség volna 7-esekre, de a terjedelem nem jön ki.

Mivel minden eshetőséget végignéztünk, ezért nincs megoldás.

Biztos, hogy ez a feladat?

"így a 2-t kivéve valamelyikből biztosan van legalább kettő darab, tehát 3 darab 2-esnek kell lennie"

Legalább 3db 2-esnek. És kihagytad azt, hogy az átlag 4. Vagyis az összeg 44.

Innen folytatom: X X 2 2 2 3 X X X X X

Írjuk be a lehető legnagyobb számokat: 1 1 2 2 2 3 4 5 5 6 6

Az összeg csak 37.

Akkor legalább 4 kettes van: X 2 2 2 2 3 X X X X X

A legnagyobb számok: 1 2 2 2 2 3 5 5 6 6 6

Az összeg 40.

5 kettes: 2 2 2 2 2 3 X X X X X

Majdnem legnagyobb számok: 2 2 2 2 2 3 5 6 6 7 7

Az összeg 44.

De jó a 2 2 2 2 2 3 5 5 7 7 7 vagy 2 2 2 2 2 3 6 6 6 6 7 is.

Valamelyiiknek a szórása biztos ~2,22, de ezt már nem számolom ki.

„És kihagytad azt, hogy az átlag 4. Vagyis az összeg 44.”

Nem hagytam ki. Láthatod, hogy nem olyan irányba ment a számításom, hogy azt lehetett volna használni. Annak a végén -ha több megoldás lett volna- ellenőrzésre lett volna használható az átlag.

Azért nem arra mentem, mert úgy gondoltam, hogy túl sok féle megoldást fog adni (és nem is biztos, hogy mindet megtalálom), a négyzetösszegekben kevesebb lehetőséget láttam. Mondjuk azzal sem voltam sokkal előrébb, mert ágrajzzal tudtam az eseteket összeszedni, tehát „szépen”, algebrailag nem tudtam továbblépni.

„Valamelyiknek a szórása biztos ~2,22, de ezt már nem számolom ki.”

Lehet, nem ártana, hogyha mégis kiszámolnád.

"Lehet, nem ártana, hogyha mégis kiszámolnád."

Már miért kellene ezt NEKEM kiszámolni. Nem az én házifeladatom. Számolja ki a kérdező. Ha a 3 felvázolt megoldás közül egyiknek sem ~2,22 a szórása, az is az ő eredménye.

Egyébként a ~ jel nem azt jelenti, hogy a kerekített érték ennyi, hanem azt, hogy kb. ennyi. A legközelebbi szórás 2,236. (Juszt sem számoltam ki. :-) wolframalpha) Az eltérés csak 7 ezredrész.