Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel, vagy Z_n-nel bizonyítása?

Legyen G egy ciklikus csoport. Mivel ciklikus, a definícióból adódóan kell, hogy legyen benne egy olyan elem, ami generálja az egész csoportot. Legyen ez az elem "a".

Írjunk fel egy leképezést Z és G között, ahol f(n) = a^n (vagy n*a, ha az ábeli csoportoknál szokásos írásmódot követjük). Itt n egy egész szám Z-ből, természetesen. Könnyen belátható, hogy f egy szürjektív homomorfizmus. Így viszont felírható a homomorfizmustétel, és ennek alapján Z/mag(f) izomort lesz G-vel.

Mivel f magja Z egy alcsoportja, és Z alcsoportjai MINDIG mZ alakúak (ahol m vagy 0, vagy egy pozitív egész szám), ezért G vagy izomorf Z/0Z = Z-vel (ha f magja {0}, mert f eleve egy izomorfizmus volt), vagy izomorf Z/mZ-vel, ami Z_m egy megfelelő pozitív egész m-hez.