Tudnátok segteni a matek házimba?

Értelmes válasz

Értelmes válasz

1. Mi kell egy egyenes egyenletének felírásához? Vagy az irányvektora, vagy a normálvektora; és egy pont, amin keresztülmegy.

Az irányvektor az egyenessel párhuzamos, a normálvektor pedig merőleges rá. Mivel az egyenesre merőleges a normálvektora, ezért az egyenesre merőleges szakasszal meg nyilván párhuzamos lesz, hiszen az egyenesre merőleges mind a normálvektora, mind a feladat szerinti szakasz.

Mivel itt egy szakaszra kell merőlegest állítani, ezért (meg amúgy is) célszerűbb a normálvektoros egyenletet használni.

Az egyenes egyenletének felírásához kell még egy ismert pont, amire illeszkedik: mivel szakaszfelező merőlegest kell gyártani, ezért az ismert pont értelemszerűen a szakasz felező pontja lesz, ami a kezdő és a végpont koordinátáinak szimpla átlagolásával számolható ki.

2. A háromszög magassága egyrészt merőleges az egyik oldalra, másrészt illeszkedik az adott oldallal szemközti csúcsra. Az e egyenes akkor illeszkedik egy pontra, ha a pont x/y koordinátáit az e egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk. Ha az A/B/C pontok bármelyike illeszkedik az e egyenesre, akkor már csak azt kell megvizsgálni, hogy az e egyenes normálvektora megegyezik-e a csúccsal szemközti oldal irányvektorával, hiszen ennek a feltételnek is teljesülnie kell ahhoz, hogy az oldal és az e egyenes merőlegesek legyenek egymásra.

3. Az A csúcs távolságát az origótól úgy lehet Pitagorasszal meghatározni, ha ismertek a koordinátái. Az A pont nyilván a két megadott egyenes metszéspntjában van, így az e két egyenletből álló egyenletrendszer megoldásával határozható meg az A pont x/y koordinátája.

1. Felírod a két pont felezőpontját. Ezt úgy tudod megtenni, hogy az azonos helyen lévő koordinátákat összeadod és osztod 2-vel, így kapod a felezőpont azonos helyen lévő koordinátáit;

Első koordináták: (-3+7)/2 = 2, tehát a felezőpont első koordinátája 2.

Második koordináták: (2+(-4))/2 = -4, tehát a felezőpont második koordinátája -4.

Ezek alapján a felezőpont (amit F-vel nevezünk el): F(2;-4). Az oldalfelező merőleges ezen a ponton fog áthaladni.

Írjuk fel az AB vektort is, itt is az azonos helyen lévő koordinátákkal számolunk, csak épp kivonjuk egymásból őket; mindig a hátsóból vonjuk ki az elsőt, vagyis az AB vektor esetén a B koordinátáiból vonjuk ki A-ét:

AB-> = ( 7-(-3) ; -4-2 ) = ( 10 ; -6 ).

Az AB szakasz merőleges a szakaszfelező merőlegesre, így nyilván az AB-> is merőleges rá, emiatt ez a vektor a keresett egyenes NORMÁLvektora lesz, tehát használhatjuk a NORMÁLvektoros képletet, ami így néz ki:

A*x + B*y = A*x0 + B*y0, ahol A és B nem a pontok, hanem a két betű a normálvektor első és második koordinátája, x0 és y0 pedig mindig annak a pontnak a két koordinátája, amin az egyenes áthalad (ez jelen esetben az F pont). Tehát csak behelyettesítünk:

10*x + (-6)*y = 10*2 + (-6)*(-4), elvégezve a műveleteket:

10x - 6y = 44, ez lesz a keresett egyenes egyenlete.

Ahogy a törtek esetén is a végeredményt "illett" egyszerűsíteni, úgy itt is "illik" egyszerűbb alakban megadni az egyenletet, ha lehet; vegyük észre, hogy tudunk 2-vel osztani, így ezt kapjuk:

5x - 3y = 22, ez az egyszerűsített alak, de ha ezt nem tesszük meg, akkor is teljes értékű a megoldás.

2. A magasságról tudjuk, hogy mindig merőleges valamelyik oldalra. Így tehát csak az a kérdés, hogy az oldalakra felírt vektorok közül valamelyik merőleges lesz-e a megadott egyenesre.

Az 1.-ben felírt képletet visszafelé is tudjuk használni, vagyis ha adott az egyenes egyenlete, akkor abból a normálvektorának koordinátáit ki tudjuk olvasni, ehhez olyan alakra kell rendeznünk, hogy az kiolvasható legyen:

2y = x + 7, kivonunk x-et (és előreírjuk):

-x + 2y = 7

Ez olyan alakú, mint a képlet, tehát a(z egyik) normálvektorának koordinátái: (-1;2). Viszont az egyenletet büntetlenül lehet szorozni bármilyen nem nulla számmal, például ha 5-tel szorozzuk:

-5x + 10y = 35, ekkor a normálvektor (-5;10) lesz. Látható, hogy ha egy számmal szorzunk, akkor a normálvektor koordinátái is ugyanúgy szorzódnak, tehát nem önmagában az a kérdés, hogy az oldalvektorok közül valamelyik (-1;2)-e, hanem az, hogy valamelyik úgynevezett skalárszorosa-e (számszorosa-e) ennek a vektornak.

Írjuk fel az oldalvektorokat (az 1.-ben tanultak szerint):

AB-> = (-3;-9)

AC-> = (-7;-9)

BC-> = (-4;8)

Szemmel láthatóan a BC-> vektor koordinátái négyszeresei az egyenes kiolvasott normálvektorának, tehát ezek a vektorok fognak egybeesni, illetve ha az egyenes egyenletét szorozzuk 4-gyel, akkor a (-4;8) normálvektort kapjuk. Tehát az egyenes a BC oldalra merőleges magasság egyenlete.

Általában a magasság alatt a magasságvonalat szokták érteni, azonban a két kifejezés nem ugyanazt jelenti; a magasságvonal mindig áthalad a szemközti csúcson, míg a magasság csak merőleges az oldalra és a csúcs "vonaláig" tart (a csúcson keresztül húzunk a szemközti oldallal párhuzamosan egy egyenest, illetve az oldalt is meghosszabbítjuk, ezek közé bárhova behúzva egy merőlegest a háromszög magasságát (és csak egy esetben magasságvonalát) kapjuk). Tehát az első értelmezés szerint kész a feladat, és a válasz: igaz.

A másik értelmezés szerint még meg kell néznünk, hogy a BC-vel szemközti csúcson, vagyis az A-n áthalad-e az egyenes, ehhez az egyenes egyenletébe írjuk be az A csúcs koordinátáit (az elsőt az x, a másodikat az y helyére), és nézzük meg, hogy teljesül-e az egyenlet; ha igen, akkor rajta van, tehát az állítás igaz lesz, egyébként nem.

-3 + 2*5 =? 7

-3 + 10 =? 7

7 =? 7, és igen, 7=7, tehát az állítás még mindig igaz.

3. Az A pont az a pont, amelynek koordinátái mindkét egyenletet egyszerre igazzá teszik. Tehát olyan x;y számokat keresünk, amelyekre az y = 2x − 4 és 2y + x = 22 egyenletek egyszerre teljesülnek. Ilyennel már korábban találkoztunk, és egyenletrendszernek hívtuk, tehát ezt kell megoldanunk:

y = 2x − 4 }

2y + x = 22 }

Mivel most y "értéke" adott, ezért egyszerűbb, ha a második egyenletben behelyettesítjük azt y helyére:

2*(2x-4) + x = 22, ezt megoldva x=6-ot kapunk, innen pedig:

y=2*6-4=8, így az A pont koordinátái: A(6;8).

Az A pontnak az origótól vett távolságát a tanult képlettel is ki lehet számolni, de érdemesebb a képlethez tartozó szemléletet követni; az ábrán az A és az O ponthoz tudunk rajzolni egy derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója "vízszintes", másik befogója "függőleges", az átfogója pedig az OA szakasz, aminek a hosszát szeretnénk tudni. A befogók hosszát is tudjuk, ehhez csak azt kell tudnunk, hogy mennyit kell lépnünk és merre az O-ból, hogy az A-ba jussunk, erre a válasz az, hogy 6-ot jobbra, majd 8-at fel, tehát a vízszintes befogó hossza 6, a függőlegesé 8. Innen pedig egy egyszerű Pitagorasz-tétellel kijön, hogy az átfogó, vagyis az OA szakasz távolsága kereken 10.