SOS, segítene valaki légyszi? (mértani sorozat)

Fogj egy papírt, hajtsd félbe!

Hány rétegből áll? (2)

Hajtsd megint félbe keresztben! Most hány réteg? (4)

Ismételd meg újra! Most mennyi? (8)

OFF

Fun fact: legfeljebb 7-szer tudsz félbehajtani egy normál A4-es lapot, utána már nem megy!

ON

A fenti zárójeles számok a sorozat tagjai?

Mennyi lehet a "q"?

a1 = 0,1mm

Ez jó.

Innentől már használhatod a tanult képleteket.

A sorozat minden tagja kétszerese az előzőnek, tehát

a(n) = a(n-1) * 2

vagy

a(n) = a(1) * 2^(n-1)

Ha az ötödik hajtogatás utáni vastagságra vagy kíváncsi, akkor a hatodik tagot keresed (hiszen az első a kiindulási állapot, 1+5=6):

a(6) = 0,1 * 2^(5)

a(6) = 0,1 * 32

a(6) = 3,2 mm

A b feladatnál fordítva kell gondolkodni, itt adott az a(n) érték, és n-t keressük. Ezt meg lehet csinálni úgy is, hogy kiszámolod az összes tagot egyesével, amíg meg nem találod az elsőt, ami nagyobb, mint 10 cm (100 mm). Vagy felírod a következő egyenlőséget:

100 = 0,1 * 2^x

Ennek a megoldása:

1000 = 2^x

x = log2(1000)

(Vesszük 1000-nek a kettes alapú logaritmusát.)

x = 9,9658

Ezt az értéket felfelé kell kerekíteni, mivel a valóságban csak egész számú hajtogatást tudunk végezni, tehát a b) feladatra 10 hajtogatás a válasz. Ellenőrzésképpen kiszámolhatjuk, hogy a(10) = 0,1 * 2^9 = 51,2 mm = 5,12 cm és a(11) = 0,1 * 2^10 = 102,4 mm = 10,24 cm, tehát valóban a tizedik hajtás után lesz a vastagság nagyobb 10 cm-nél.

A mértani sorozathoz kell egy szorzó (kvóciens). Mindig ennyiszer nagyobb a következő tag.

Ha félbehajtod a lapot, hányszorosra növekszik a vastagsága az eredetihez képest?

Ha a1=0,1mm, akkor mennyi a2? És így tovább a6-ig.

Közben rá fogsz jönni az n-edik elem (an) képletére is.