Mi a maximuma az (1+cosx)sin²x -nek?

Amikor egy feladatban sin^2(x) vagy cos^2(x) szerepel, akkor mindig gyanús, hogy át kell alakítani a másikká. Hogy csak egyfajta szögfüggvényed legyen a képletben.

És akkor ami maradt, átnevezheted mondjuk u-nak, ami csak -1 és 1 között vehet fel értékeket. És ebben a tartományban kell keresni a polinom maximumát.

#2

Pl. megoldanám a deriválással keletkező másodfokú egyenletet. És kiszámolnám a harmadfokú értékét a szélsőséges helyeken és a határokon. De arra is van esély, hogy a kérdező elrontotta a felírást és az igazi feladat az (1+cos^2(x))*sin^2(x) maximuma. És akkor megfelelő új ismeretlenválasztással csak másodfokú lesz az új függvény.

Írjuk fel a számtani-mértani egyenlőtelenséget az 1/2 + (cosx)/2, 1/2 + (cosx)/2, 1 - cosx nemnegatív kifejezésekre:

(1+cosx)sin²x = 4(1/2 + (cosx)/2)²(1 - cosx) ≤ 4(2/3)³ = 32/27

és ezt fel is veszi az 1/2 + (cosx)/2 = 1 - cosx ⇒ cosx = 1/3 -nál.