Úgy Határozd meg az m valós paraméter értékét hogy z=3+2mi/4-i valós szám legyen?

Gondolom z=(3+2mi)/(4-i) a kérdés, csak pontatlanul sikerült leírni, mert másképp túl egyszerű a feladat. (Ha tévedek, és tényleg z=3+2mi/4-i a feladat, akkor kérlek szólj.)

3+2mi/(4-i) pontosan akkor lesz valós szám, ha 2mi/(4-i) valós szám. Ilyen törteknél az a trükk, hogy a számlálót és a nevezőt is be kell szorozni a nevező komplex konjugált párjával, ami ebben az esetben 4+i. Amit kapunk, az ((3+2mi)(4+i))/((4-i)(4+i)), azaz (8mi-2m)/(16+1), m-et kiemelve: m(8i-2)/17.

Emlékezzünk, hogyan szorzunk össze két komplex számot: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Ha m=a+bi, akkor m(8i-2)/17 = (a+bi)(c+di), ahol c=-2/17, és d=8/17.

A fenti szorzási képletbe behelyettesítve megkapjuk, hogy 4a=b.

Vagyis m = r(1 + 4i), ahol r egy tetszőleges valós szám.

Bocs, most látom, hogy m VALÓS paraméter. Ebben az esetben tényleg az lesz a feladat, amit felírtál :D

OK. Szóval 3+(2mi/4)-i legyen valós. Ez azt jelenti, hogy (2mi/4)-i valós, ez pedig akkor valósul meg, ha 2mi/4 = r + i (r egy tetszőleges valós szám). Látjuk, hogy 2mi/4 valós m mellett 0 + xi alakú lesz, másképp fogalmazva r=0 (hiszen i-t kiemelve valós számot kapsz).

Ez alapján 2mi/4 = m*(i/2) = i kell, hogy legyen, és ki is jön, hogy m=2.

z=3+2mi/4-i=3+i(2m-4)/4=3+i(m-2)/2

z akkor valós, ha m=2.

Az a lényeg, hogy a z= r+k*i alakú komplex szám akkor valós, ha a k nulla.

Tehát a megadott z kifejezést r + k*i alakra kell rendezni, ahol r a valós rész, k pedig az i imaginárius egység szorzója. (Az i a gyök(-1) ) Ha a rendezés után megvan a k kifejezés, akkor azt egyenlővé kell tenni nullával és az így adódott egyenletet meg kell oldani a benne szereplő paraméterre, ami most az m. Ezt csinálta #3 hozzászóló, így (m-2)/2 = 0 a megoldandó, ebből adódik m=2.