Hogyen lehet kiszámítani az S= {m/n} +{ 2m/n} +...+{((n-1)m)/n}, ahol m,n nem nulla relatív primek, m, n eleme N, és {x} az x szám törtrészét jelöli?

Legyen 1 ≤ i ≤ n-1 tetszőleges. Osszuk el im-et n-nel maradékosan:

im = kn + r, ahol 1 ≤ r ≤ n-1 (r = 0 nem lehet, mivel (m, n) = 1)

im/n = k + r/n, vagyis {im/n} = r/n.

Kapjuk, hogy a szóban forgó törtrészek az 1/n, 2/n, ... (n-1)/n halmazból kerülnek ki. Belátjuk, hogy ezek mind különbözők. Ugyanis ha valamilyen különböző i₁, i₂-re: i₁m = k₁n + r és i₂m = k₂n + r teljesülne, akkor i₁m - k₁n = i₂m - k₂n miatt (i₁-i₂)m = (k₁ - k₂)n is igaz lenne, következésképp (m, n) = 1 mellett n | (i₁-i₂) adódna, ami ellentmondás. Tehát a összegben szereplő törtrészek valamilyen sorrendben pontosan az 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n számok, ezek összege pedig (n-1)/2.

Hogy értsd is a kettes választ; nézzük meg egy konkrét törtrész értékét, például az {11/3}-ét. Elvégezzük az osztást maradékosan, és ezt kapjuk: 3 + 2/3, ennek a törtrésze 2/3. Ez bármelyik törttel működik, tehát a törtrész értéke az a tört lesz, melynek nevezője n, számlálója pedig a számláló/n osztás maradéka.

Azt tudjuk, hogy ha egy szám többszöröseinek vesszük egy a számmal relatív prím számmal vett maradékait, akkor mindegyik, az osztó alatti szám maradékként megjelenik, például:

6 : 7 maradéka 6,

12 : 7 maradéka 5,

18 : 7 maradéka 4,

24 : 7 maradéka 3,

30 : 7 maradéka 2,

36 : 7 maradéka 1,

45 : 7 maradéka 0,

51 : 7 maradéka 6, és ezek a maradékok innentől ismétlődni fognak.

Azt látjuk, hogy 45 alatti számok 7-es maradékai 1-6-ig terjednek, tehát az összes 7-es alatti szám megjelent maradékként.

És ez bármelyik n;m párosra eljátszható, hogyha n;m relatív prímek.

Ennek megfelelően ezeket a törteket kell összeadnunk: 1/n + 2/n + ... + (n-1)/n. Amit össze tudunk vonni:

(1+2+...+(n-1))/n

A számlálóban lévő összegre van egy képlet; 1-től n-ig az egész számok összege (1+n)*n/2, így 1-től (n-1)-ig ez az összeg (1+(n-1))*(n-1)/2, ami n*(n-1)/2. Ezt még osztjuk n-nel, így kapjuk végeredménynek az (n-1)/2-t.