Melyik halmaznak van több eleme: a természetes (N), vagy az egész számok (Z) halmazának?

Nem igazán ellentmondásos.

Matematikailag két végtelen számosságú halmaz számossága megegyezik, ha van közöttük bijektív, azaz kölcsönösen egyértelmű leképezés, tehát az elemeik "párba állíthatóak".

Ez megtehető az N és Z halmazokkal pl így: (jobboldal Z-beli, baloldal N-beli elemek)

0 : 0

1 : 1

2 : - 1

3 : 2

4 : - 2

5 : 3

6 : - 3

stb (jól látszik a szabály)

Azért tűnik ellentmondásosnak, mert a "csökött" agyunk a való életben csak véges dolgokban tud gondolkodni. A végtelen megértéséhez egy teljesen másik látásmód szükséges, ami viszont végesben nem működik.

Erre tipikus példa a végtelen hotel paradoxona; egy végtelen szobából álló hotelben minden szoba foglalt, mégis helyet tudunk szorítani egy újonnan érkezett vendéknek, ehhez csak minden lakot költöztessünk 1-gyel nagyobb sorszámú szobába, így az 1-es felszabadul, és mindenkinek lesz helye. Ugyanez egy véges, például 20 szobából álló hotel esetén nem tud működni, mivel a 20-asban lakó ember kénytelen az 1-esbe beköltözni, így nem fog szoba felszabadulni.

Mindkettőnek pontosan ugyanannyi eleme van: megszámlálhatóan végtelen.

A számosságuk is megegyezik, mert, mint 2-es válaszoló írta, létezik a két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

Megszámlálhatóan végtelen eleme van mindkét halmaznak, pontosan ugyanannyi elemmel rendelkeznek (definiálható egy bijektív leképezés a két halmaz között). Ez nem ellentmondásos, csak furcsa azoknak, akik először találkoznak vele.

Egyébként a racionális számok halmaza is megszámlálhatóan végtelen számosságú. A valós számok egy más kategória, az valóban nagyobb.