Ezt hogy tudom igazolni?

Nézd az ábrát:

[link]

a) ABC háromszög derékszögű, átfogója AB, ezért sinx = AC ≤ AB ≤ ABív = x.

b) 1 = cos²x + sin²x ≤ cosx + x², mert cos²x ≤ cosx és az a) miatt

c) OAB körcikk területe ≤ ODB háromszög területe, azaz: 1*1*(x/2) ≤ (1/2)*1*tgx

sin(x)<=x

Ehhez tudni kellene, hogy mit tanultatok, mi az a sin(x).

Pl. az egységnyi átfogójú derékszögű háromszög x szögével szemben levő befogó hossza?

Akkor egy derékszögű koordinátarendszerben rajzolj fel egy egységvektort, ami (1;0)-hoz képest x szöggel van elforgatva. És az x tengelyre szimmetrikus párját. Akkor a két vektor csúcsának távolsága 2*sin(x). A két csúcsot összekötő ív hossza 2*x. És az egyenes mindig a legrövidebb út két pont között.

"Vagy mit jelöl x?"

x a szöget jelenti radiánban.

Egységnyi sugarú körben 1 radián annak a szögnek az ívmértéke, amelyhez éppen 1 hosszegységnyi körív tartozik.

Pl. 57,345 fok = 1 rad

3,141 rad = 180 fok

[link]

x[0;pi/2] értéket veheti fel, ami [0;90] szögnek felel meg fokban

Igen.

Úgy kell érteni a feladatot, hogy ha x a 0 és pi/2 tartományban van, akkor x nagyobb egyenlő, mint a hozzátartozó sin értéke. Ahol x a radiánban mért szög, vagy másszóval az egységsugaru kör ívhossza.

> Hanem [0;pi/2] értékekhez tartozó koriv hosszánal kisebb sin x.

> Ugye?

Szerintem már jóra gondolsz, de még mindig teljesen értelmetlen amit írsz, úgyhogy inkább kimondom megint. Az az állítás, hogy

minden 0 <= x < pi/2 valós számra

: sin(x) <= x.

Ez geometriailag például azt jelenti, amit az #1 is lerajzolt, hogy AC ív rövidebb, mint az AB (#1 jelöléseivel).

x nem ívhosszt, szöget, radiánt jelöl, hanem valós számot.

Hasonlóan sin x sem radiánban van, sem pedig szög, hanem szintén való szám (x-től függő), így lehet arról beszélni hogy melyik a kisebb vagy nagyobb.