Valakinek esetleg van megoldása/ötlete a megoldáshoz? Matek, valószínűségszámítás.

"Szép" megoldást egyelőre nem találtam, de ez legalább van. Én az évfolyamokat az A,B,C betűkkel jelölöm.

Számoljuk meg azt, hogy hány esetben fognak egymás után felszállni a vonatra az azonos évfolyamú tanulók;

1. eset: mindhárom évfolyam egymás után száll fel, erre alapvetően 1 lehetőség van: AAABBBCCC, de a "szerepek" 3*2*1=6-féleképpen felcserélhetőek, tehát 6-féle betűsort tudunk felírni. Mindegyiken belül a diákok 3*2*1*3*2*1*3*2*1=216-félkeéppen tudnak felszállni, tehát 6*216=1296 olyan eset van, amikor a három osztály egymás után száll fel a vonatra.

2. eset: pontosan két osztályból szállnak fel egymás után a diákok. Kezdjük úgy, hogy AAABBB. A maradék három C-t úgy kell elhelyeznünk, hogy ezek a hármas csoportok ne bomoljanak fel, de ne is keletkezhessen újabb csoport. Mivel nincs sok lehetőség, ezért akár manuálisan is leszámolhatjuk ezeket. Ahova tehetjük a C-ket:

_AAA_BBB_, egy vonalra akár több C-t is írhatunk, de legfeljebb kettőt. Könnyen rájöhetünk, hogy azt könnyen meg tudjuk számolni, hogy melyik vonalra hány c-t írunk, mivel a 3 három szám összegeként nem jön ki túl gyakran: 1+1+1 vagy 0+1+2, utóbbi esetben 3!=6-féleképpen tudjuk a számokat egymás mellé írni, így a C-ket 7-féleképpen tudjuk egymás mellé írni. A szerepcserét itt is 3!=6-féleképpen tudjuk megtenni, a diákok pedig még mindig 216-féleképpen tudják követni egymást, így ebben az esetben 7*6*216=9072 esetet tudtunk megszámolni.

3. eset: pontosan csak az egyik osztályból szállnak fel egymás után. Vizsgáljuk először megint az első két osztályt, hogy ott hányféleképpen tudnak egymás után felszállni, vagyis az AAABBB betűk hányféleképpen írhatóak egymás mellé, erre az ismétléses permutáció ad választ: 6!/(3!*3!)=20. Mivel ez a 20 nem annyira vészes, írjuk fel az összeset. Most azért ezt a lehetőséget választom, hogy jobban látható legyen a számolás célja:

AAABBB | BBBAAA

AABABB | BBABAA

AABBAB | BBAABA

AABBBA | BBAAAB

ABAABB | BABBAA

ABABAB | BABABA

ABABBA | BABAAB

ABBAAB | BAABBA

ABBABA | BAABAB

ABBBAA | BAAABA

Most "közözzük össze" a három C-t, és őket egyben tegyük be a betűsorba úgy, hogy csak a 3 C lehessen egymás mellett azonos betűkből. Ezeket a betűsorok két szélére és két betű közé tehetjük, ennek megfelelően esetenként legfeljebb 7 lehetőséget tudunk megszámolni. A "táblázatban" a számok azt jelzik, hogy hány jó elhelyezés van:

0 | 0

7 | 7

7 | 7

2 | 2

7 | 7

7 | 7

7 | 7

7 | 7

7 | 7

2 | 2

Az első két esetben könnyen belátható, hogy nem tudjuk úgy berakni, hogy csak egy 3-as csoportunk legyen. Ahol 2-es szerepel, ott van vagy AAA vagy BBB, így ezekben kell elhelyeznünk a C-ket, hogy a meglévő 3-as csoportokat fel tudjuk bontani, ezért csak 2 lehetőségünk van.

Ezeket összeadva kapjuk azon eseteket számát, ahol csak CCC van, ez összesen 106 lehetőség van. A szerepcserére itt is 3!=6 lehetőség van, a diákok pedig 216-féleképpen tudnak felszállni, így 106*3*216=68688 esetben lesz pontosan egy évfolyam, hogy azon belül egymás után szállnak fel a diákok.

A végeredményeket összeadva kapjuk meg, hogy hány esetben lesz legalább egy osztály, amiben egymás után szállnak fel: 1296+9072+68688=79056.

Összes eset: 9!=362880

Valószínűsége annak, hogy a feltétel NEM teljesül: 79056/362880 = 61/280

Így annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen felszállva egyik osztály tanulói mindegyike nem követi egymást, 219/280.