Egy rendezvényre készülődve 50 darab (egyforma méretű és színű) poharat tettek ki az asztalra. A poharak között öt olyan van, amelyiknek (egy kicsit) csorba a széle. Mi a következő kérdésekre a válasz?

a. hipergeometriai eloszlás 0-ra és 1-re

b. binomiális eloszlás komplementer mód 0, 1, 2-re

Hangzatos kifejezések nélkül;

a) Számolhatunk úgy, hogy a poharak sorrendje nem számít;

Összes eset: (50 alatt a 10)

Kedvező eset:

- nincs csorba szélű: (40 alatt a 10)

- pontosan 1 csorba szélű van: (40 alatt a 9)*(10 alatt az 1)

A kedvező esetek száma a kettő összege.

Valószínűség: [(40 alatt a 10)+(40 alatt a 9)*(10 alatt az 1)]/(50 alatt a 10).

Ha a poharak kiválasztásának sorrendiségével számolva ugyanezt a valószínűséget kapjuk.

b) Nem tudjuk, hogy azon a gépsoron hány poharat gyártanak, de azt fogjuk látni, hogy ez nem is számít; tegyük fel, hogy x poharat gyártanak, ekkor 0,1x darab közülük selejtes és 0,9x darab ép.

Összes eset: x*x*...*x = x^15

Kedvező eset: érdemesebb a "rossz eseteket" kiszámolni, vagyis amikor a kiválasztottak közt 0 vagy 1 selejtes lesz, és ezen eseteket kivonva az összes esetből kapjuk a kedvező esetek számát;

Rossz eset:

-0 selejtes: 0,9x*0,9x*...*0,9x=(0,9x)^15

-1 selejtes: mivel a sorrendsiséggel számolunk, ezért nem mindegy, hogy az az 1 selejtes hova kerül a kiválasztásnál. Ha az első helyre, akkor ezt kapjuk: 0,1x*0,9x*0,9x*...*0,9x = 0,1x*(0,9x)^14. Nem nehéz rájönni, hogy mindegy, hova tesszük a selejtest, mindig ugynaazt a szorzatot kapjuk, és ezek összege adja a rossz esetek számát, így mivel a selejtes 15 helyre kerülhet, ezért a szorzatok összege 15*0,1x*(0,9x)^14, ennyi esetben lesz pontosan 1 selejtes.

A rossz esetek száma a kettő összege.

Kedvező eset = összes-rossz = x^15 -((0,9x)^15 + 15*0,1x*(0,9x)^14)

Valószínűség: [x^15 -((0,9x)^15 + 15*0,1x*(0,9x)^14)]/x^15

Ha kibontogatod a zárójeleket, akkor láthato, hogy x^15-nel lehet egyszerűsíteni, így az eredményből kiesik az x, ami azt jelenti, hogy a legyártott poharak számától függetlenül mindig ugyanannyi lesz a valószínűség.

c) Legyen x az első gépen gyártott poharak száma, ekkor a második gépen 2x, a harmadik gépen 6x poharat gyártanak. Nézzük, hogy melyik gépről hány selejtes pohár érkezik:

1. gép: x*0,1 = 0,1x

2. gép: 2x*0,06 = 0,12x

3. gép: 6x*0,05 = 0,3x

Összesen tehát 0,1x+0,12x+0,3x=0,52x selejtes poharat gyártottak, ezek közül választunk ki egyet, így az a kérdés, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy a 3. gépről választottuk.

Valószínűség: (0,3x)/(0,52x) =~ 0,577

Mivel itt is kiesett az x a végére, ezért itt is elmondhatjuk, hogy a legyártott poharak számától függetlenül mindig ugyanannyi lesz a valószínűség.