Ha a+b=1 Akkor a⁴+b⁴ >= ⅛ Közepek segítségével valaki betudja nekem ezt bizonyítani?

aritmetikai kozep <= negyzetes kozep

(a+b)/2 <= gyok((a^2 + b^2)/2)

1/2 <= gyok((a^2+b^2)/2)

1/4 <= (a^2 + b^2)/2

Tekintsuk a jobb oldalt a^2 es b^2 aritmetikai atlaganak, es ismeteljuk meg az elobbit.

1/4 <= (a^2+b^2)/2 <= gyok((a^4 + b^4)/ 2)

relacios jelek tulajdonsaga miatt kozepso reszt elhagyhatjuk.

1/4 <= gyok((a^4+b^4)/2)

1/16 <= (a^4+b^4)/2

1/8 <= a^4+b^4.

Szerintem egyszerűbb közepekkel bebizonyítani, mint algebrai szenvedéseket csinálni :)