Egységnyi sugarú gomb köré forgaskupot írunk. Mekkora annak a kúpnak a nyilasszoge, amelyiknek a legkisebb a felszíne??

A forgáskúp felszíne: A=pi(ax+x^2). Összekeverted a kétféle sugarat.

A/pi=ax/2+ax/2+x^2

És akkor az r=1 ismeretében összefüggést kellene találni x és "a" között. Pl. (a-x):r=sqrt(a^2-x^2):x, vagyis (a-x)x=r*sqrt(a^2-x^2)

Ebből kellene felírni a felületet úgy, hogy csak a-t vagy x-et tartalmazzon. (Vagy valami a és x kombinációt, amit átnevezünk egy új változónak.) És utána a felületet úgy kellene felbontani tagokra, hogy a tagok szorzatában csak r és más konstansok maradjanak. Akkor ki lehetne mondani, hogy a felület akkor lesz minimális, ha az említett tagok egyenlőek.

De hogy ezt milyen trükkökkel lehetne véghezvinni, azt nem tudom.

Egyébként numerikus közelítéssel az jött ki, hogy a felület akkor a legkisebb, ha a forgáskúp magassága a beírt kör sugarának 4-szerese.

Akkor a=4,243 x=1,414 és A=8*pi.

Ugye a kúp tengelymetszete egy egyenlő szárú háromszög, aminek a csúcsszöge a kúp nyílásszöge, amit én 2*α-val fogok jelölni.

Ezt a háromszöget a szimmetriatengelye két derékszögű háromszögre osztja, amik átfogója az alkotó, az α-val szemközti befogó pedig az alapkör sugara, tehát a szinusz definíciója alapján

x = a*sin(α).

A háromszög területét számolhatjuk a beírt kör sugarából és az oldalak hosszából, mivel a beírt kör középpontját a csúcsokkal összekötve 3 kisebb háromszögre oszthatjuk az eredeti háromszöget, amik magassága mindig a beírt kör sugara r, és a hozzá tartozó alap a háromszög oldala, tehát

T = a*r/2 + a*r/2 + 2*x*r/2 = (a + x)*r.

Megjegyzem, hogy r itt egyezik a kúpba írt gömb sugarával.

De úgy is számolhatjuk a területét, hogy az alap középpontjára tükrözve parallelogrammává egészítjük ki, melynek magassága éppen a csúcsszög szinusza és a mellette levő oldal szorzata, így a területe a*a*sin(2*α), tehát az eredeti háromszög területe

T = a^2*sin(2*α)/2 = a^2*sin(α)*cos(α).

Mostantól bevezetem az s = sin(α) és c = cos(α) jelöléseket.

Szóval a tengelymetszet területét kétféleképpen is kiszámoltuk, ezek nyilván egyeznek:

(a + x)*r = a^2*s*c,

ebbe helyettesítve x-et a második bekezdésből

a*(1 + s)*r = a^2*s*c --> a = r*(1 + s)/(s*c),

és

x = a*s = r*(1 + s)/c.

Most lényegében az történt, hogy az alapkör sugarát és az alkotó hosszát kifejeztük a (fél)nyílásszög szinuszával és koszinuszával, aminek a függvényében minimalizálni akarjuk a felületet.

A kúp felszíne

A = π*x^2 + π*x*a = π*r^2*(1 + s)^2/c^2 + π*r*(1 + s)/c*r*(1 + s)/(s*c) =

A = π*r^2*((1 + s)^2/c^2 + (1 + s)^2/(s*c^2)) = π*r^2*(1 + s)^2/c^2*(1 + 1/s).

Most használjuk, hogy c^2 = cos(α)^2 = 1 – sin(α)^2 = 1 – s^2, amivel

A/(π*r^2) = (1 + s)^2/(1 – s^2)*(s + 1)/s = (s + 1)^2/(s*(s – 1)),

ahol az adott konstansokkal (π és r) osztottam, mivel ezek nem befolyásolják a minimum helyét.

Az egyszerűsítéseket megtehettük, mivel 0 < α < π/2, tehát s és c mindenhol pozitívak, konkrétan 0 és 1 között vannak (a határokat nem megengedve).

Ennek a függvénynek (analitikai megfontolások alapján) akkor van minimuma, ha s = sin(α) = 1/3, így a kérdéses nyílásszög

2*α = 2*arcsin(1/3).

Nah, azért írok, mert az A/(π*r^2) utolsó tényezőjét elírtam, helyesen az 1 – s, tehát

A/(π*r^2) = (s + 1)^2/(s*(1 – s)).

Viszont a szélsőérték hely megkeresésére jobb ötletem nincs, mint hogy ezt deriváljuk, és keressük a zérushelyét. Továbbra is szem előtt tartva, hogy 0 < s < 1.

A deriváltra s szerint:

A'/(π*r^2) = (2*(s + 1)*s*(1 – s) – (s + 1)^2*(1 – 2*s))/(s^2*(1 – s)^2).

Egy tört akkor 0, ha a számlálója 0, így a számlálóban a kivonandónak és kisebbítendőnek egyenlőnek kell lennie:

2*(s + 1)*s*(1 – s) = (s + 1)^2*(1 – 2*s), \\ osztva (s + 1)-gyel

2*s*(1 – s) = (s + 1)*(1 – 2*s),

2*s – 2*s^2 = s – 2*s^2 + 1 – 2*s,

2*s = 1 – s,

s = sin(α) = 1/3.

Mivel csak 1 zérushely van, és az értelmezési tartomány szélein – a megfelelő irányokból – végtelenbe tart az eredeti függvény, ezért ennek kell legyen a globális minimum hely. Innen a nyílásszögre

2*α = 2*arcsin(1/3) ≈ 38,942°.

Ez pedig összhangban van a numerikus eredményekkel, mert ebből

A/(π*r^2) = (s + 1)^2/(s*(1 – s)) = (4/3)^2/(1/3*2/3) = (16/9)/(2/9) = 8,

tehát A = 8*π*r,

továbbá a Pitagorasz-tétel és a területképletek alapján nem túl bonyolult ellenőrizni, hogy

x = sqrt(2)*r,

a = 3*x = 3*sqrt(2)*r,

h = 4*r,

…