Hogyan kell megoldani ezt a valószínűségszámítás feladatot?

Mi lenne akkor, hogyha úgy számolnánk, hogy mindenkit párosítanánk mindenkivel?

Úgy értem, hogy legyen 100 golyó, abból 70 piros, 20 sárga és 10 zöld, majd egyesével kihúzgáljuk a golyókat, a kihúzott golyókat sorrendjük szerint egymás mellé rakjuk, és akkor az 1-2, 3-4, 5-6, ..., 99-100 párosokat tekintjük párosításnak, és akkor már csak azt kellene megnézni, hogy hány húzási sorozat van, ami a kérdéseknek megfelel (zöld csak pirossal/sárgával/zölddel van párban).

Mivel mindegyik húzási sorrendnek ugyanakkora a valószínűsége amellett, hogy minden golyót különbözőnek tekintünk (talán ebben nem lesz kivetnivaló), ezért alkalmas a kérdéses valószínűségek meghatározására. Mondjuk így a kedvező esetek számítása lesz nagyon macerás, de valamit valamiért.

Ha így nézzük, akkor a valószínűség így jön ki:

Összes eset: 100!

Kedvező eset:

a) zöld-piros párok: a 10 darab zöld golyót szorjuk el az 50 párosításban, ezt 100*98*96*94*92*90*88*86*84*82-féleképpen tudjuk megtenni. Ezen zöld golyók melletti helyek fixek, ezt a 10 helyet kell feltöltenünk a 70 piros golyóból, ezekre 70*69*68*67*66*65*64*63*62*61-féle lehetőség van. A maradék 80 golyóval 80!-féleképpen lehet a maradék helyeket feltölteni, tehát 100*98*96*94*92*90*88*86*84*82*70*69*68*67*66*65*64*63*62*61*(80!) esetben lesz minden zöld mellett piros.

b) zöld-sárga párok: a fentiek szerint ugyanúgy lehet számolni, az eredmény: 100*98*96*94*92*90*88*86*84*82*20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*(80!), ennyi esetben lesz az összes zöld sárgával párban.

c) zöld-zöld: 5 zöldet elhelyezünk a lehetséges párhelyekre: 100*98*96*94*92

a maradék 5 zöldet behelyezzük melléjük: 5*4*3*2*1

Ezzel az eljárással a párok megfordítható sorrendje miatt minden behelyezés (2!)^5=32-szer lett megszámolva, ezért osztanunk kel 32-vel.

A maradék golyókat a maradék helyekre (90!)-féleképpen tudjuk elhelyezni. Tehát 100*98*96*94*92*5*4*3*2*1*(90!)/32 esetben lesznek a zöldek párban.

Mindegyik esetben a valószínűséget úgy kapjuk, hogy osztunk (100!)-sal.

#13

Ez a sorrendbe állítás nagyon jó ötlet. Eddig én csak "kritizáltam", de erre magamtól nem jöttem rá. A kedvező esetek száma is sok csapdát rejt, de hibátlan.

Gratulálok!!!