Hogyan számoljam ki?

Szinusztétel.

"Mekkora hibát követhetnek el a becslésben, ha tudjuk, hogy 2-3 foknál nem tudnak pontosabban szöget mérni?"

Elég nagyot, hiszen a szemközti szög 15 helyett 15-6=9, vagy 15+6=21 fok is lehet, és mivel kis szögek szinusza majdnem arányos a szöggel, a max. táv duplája is lehet a min. távnak!

Többféleképpen meg lehet oldani, egy lehetséges megoldás;

Ha felrajzolod az ábrát, akkor egy háromszöget kapsz, amelynek ismered az egyik oldalát, ami 800 méter hosszú, az ezen fekvő két szög 80°-os és 85°-os. Ennek a háromszögnek a magasságát szeretnék kiszámolni.

Ha behúzod a magasságot, akkor kapsz két derékszögű háromszöget, a 800 méteres oldalt pedig két részre bontja a magasság. Legyen a 80°-os derékszögű háromszögben a 800 méteres oldalra eső szakasz hossza x, ekkor a másik szakasz 800-x méter hosszú. A két derékszögű háromszög közös befogója legyen m.

Ebben a két háromszögben fel tudjuk írni az ismert szögek tangenseit;

tg(80°) = m/x

tg(85°) = m/(800-x)

A két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, tehát egyenletrendszert alkotnak. Érdemes a két egyenletet elosztani egymással, ekkor m kiesik:

tg(85°)/tg(80°) = (800-x)/x, a tangensek kiszámolhatóak számológéppel:

11,4301/5,6713 = (800-x)/x, ez pedig egyszerűen megoldható:

x = 265,302, tehát a magasság a 800 méteres szakaszt egy 265,302 méteres és egy 800-265,302=534,698 méteres szakaszokra bontja.

Innen már csak be kell belyettesítenünk az egyik egyenletben x helyére:

tg(80°) = m/265,032, ennek megoldása m=~1503,076, tehát kb. 1503,076 méter hosszú a kiszemelt szakasz.

Hogy mekkora lehet a hiba; először nézzük meg a tg(85°)/tg(80°) értékét: 2,0154

A feladat azt mondja, hogy a pontosság +-3° lehet. Tehát ez azt jelenti, hogy a mért szögek a [82°;88°], valamint a a [77°;83°] intervaalumon lehetnek valahol. Azt kell megnéznünk, hogy mekkora lehet a legkisebb és a legnagyobb hányados értéke;

legkisebb: amikor a számláló a lehető legkisebb, a nevező a lehető legnagyobb, vagyis tg(82°)/tg(83°) = 0,8737

legnagyobb: amikor a számláló a lehető legnagyobb, a nevező a lehető legkisebb, vagyis tg(88°)/tg(77°)= 6,6120

Ezek alapján kiszámolható m és x értéke is:

0,8737 = (800-x)/x, ennek megoldása x=426,963, erre m=3477,33

6,6120 = (800-x)/x, ennek megoldása x=105,097, erre m=455,225

Tehát a tópart egymástól mért távolsága valahol ~455 méter és ~3478 méter között van.

Szóval lehet látni, hogy ebben az esetben 3°-on sok minden múlik.

#5: kicsit túlbonyolítottad, és az átrendezést el is rontottad.

(Helyettesíts vissza: tg(80°) = m/x, ill. tg(85°) = m/(800-x) ???)

#6: "a szinuszTÉTELhez nem kell derékszögű háromszög"

Ezt nem is állította senki, vagyis nem kell derékszög, anélkül is egyszerűen megoldható szinusztétellel:

800*sin(80)/sin(15)= 3044 ill. 800*sin(85)/sin(15)= 3079 méterre van a kiválasztott túlparti pont a srácoktól.