Mértani sorozatban ezt hogy kell kiszámolni?

Mértani sorozat:

a1

a2 = a1*q

a3 = a2*q = a1*q*q = a1*(q^2)

a4 = a3*q = a2*q*q = a1*q*q*q = a1*(q^3)

a5 = a1*(q^4)

Így megy már?

#2

Legalább helyettesítsd be a két egyenletbe azokat az a1, a2, ...,a5 értékeket, amit 1-es leírt.

Az a legkönnyebb része, hogy átírjuk. Alapvetően az ilyen jellegű feladatokat mindig így kezdjük.

Átírás után:

a1 + a1*q^2 + a1*q^4 = 63

a1*q + a1*q^3 = 30

Az ismeretlenek egymással való kifejezése ebben a felállásban nehéz lenne, úgyhogy másik taktikát választunk; amit lehet, emeljünk ki mindkét egyenletben:

a1*(1+q^2+q^4) = 63

a1*q*(1+q^2) = 30

Érthető okokból a1 és q értéke nem lehet 0, ettől függetlenül pedig a két egyenletet eloszthatjuk egymással, így a1 kiesik, és ami marad:

(1+q^2+q^4) / (q*(1+q^2)) = 2,1, szorzunk a nevezővel:

1+q^2+q^4 = 2,1q + 2,1*q^3

És itt kaptunk egy negyedfokú egyenletet, ami egykönnyen nem feltétlenül megoldható. Feltételezem, hogy másodfokúra visszavezethető negyedfokú egyenletet már oldottatok meg, de ez nem olyan. Szóval azt kell mondanunk, hogy a jelenlegi szinteden ez a feladat nem megoldható.

Persze egyéb gondolatmenetekkel megoldásra lehet jutni, mint például feltesszük, hogy vagy a1 vagy q egész, ekkor a lehetőségek leszűkíthetőek, valamint nyilvánvaló, hogy ha q egész megoldása a feladatnak, akkor 1/q is megoldása lesz, mivel az 1/q megoldás csak megfordítja a sorozat tagjainak sorrendjét (például 1;3;9 esetén q=3, 9;3;1 esetén q=1/3). De nagy általánosságban ez a fajta egyenlet középiskolai eszközökkel nem megoldható.

Illetve van egy nagyon szép meglátási mód, amivel ez a negyedfokú egyenlet megoldható. Nem nagyon szokták tanítani, de csak középiskolás módszereket használ fel (a középszinthez képest kicsit nehezebb). Redukáljuk a jobb oldalt 0-ra;

q^4 - 2,1q^3 + q^2 - 2,1q + 1 = 0

Ez egy úgynevezett szimmetrikus negyedfokú egyenlet. Azért szimmetrikus, mert az együtthatók a közepére nézve szimmetrikusan állnak. Ebben az egyenletben tegyük meg azt, hogy osztunk q^2-tel:

q^2 - 2,1q + 1 - 2,1/q + 1/q^2 = 0

Most rendezzük úgy a tagokat, hogy az "azonos fokszámúak" egymás mellé kerüljenek;

(q^2 + 1/q^2) - 2,1*(q + 1/q) + 1 = 0

Most bevezetünk egy segédváltozót; nevezzük el a q + 1/q kifejezést egy másik betűvel, mondjuk t-vel, vagyis

q + 1/q = t. Ebben az elnevezésben emeljünk négyzetre:

(q + 1/q)^2 = t^2, elvégezzük a négyzetre emelést:

q^2 + 2 + 1/q^2 = t^2, ez azért jó, mert a q^2 + 1/q^2 összeg tagjai megjelentek, és egy 2-es kivonásával meg is kapjuk a bal oldalra:

q^2 + 1/q^2 = t^2-2

Itt már a q^2 + 1/q^2 kifejezést is le tudjuk cserélni valami t betűt tartalmazó kifejezésre, ekkor ezt kapjuk:

(t^2 - 2) + 1 -2,1*t = 0, rendezés után

t^2 - 2,1t - 1 = 0, és ezt meg tudjuk oldani; t=5/2 és t=-2/5

De természetesen nem t értéke kell, hanem q-é, tehát most a t-k helyére visszaírjuk az előbb elnevezett kifejezéseket;

q + 1/q = 5/2, felszorzunk:

2q^2 + 2 = 5q, rendezés után:

2q^2 - 5q + 2 = 0, ennek két megoldása q=2 és q=1/2, ezek ismeretében a1 is meghatározható (a1=3 és a1=48).

A másik esetben;

t=-2/5, vagyis

q + 1/q = -2/5, rendezés után

5q^2 + 2q + 5 = 0, ennek pedig nincs valós megoldása.