Legyen xOy szög tetszőleges és A eleme int (xOy). Hogyan lehet szerkeszteni egy ABC egyenlőszárú derékszögű háromszöget m(A)=90 fok, úgy, hogy B,C legyenek az xOy szög szárain?

Az A-t tartalmazó szögszárra merőlegest szerkesztesz az A pontban, ahol ez metszi a másik szögszárat, ott lesz a háromszög másik csúcsa, ez legyen B. Ezután körzővel felméred az AB távolságot, elmetszed az A-t tartalmazó szögszárat az A-ból körzőzve, és a metszéspont lesz a C csúcs. Összekötöd az ABC pontokat, és kész is van a háromszög.

Diszkusszió:

-ha 270°>=m(O)>=90°, vagy m(O)=0°, vagy m(O)=360°, vagy A=O, akkor a háromszög nem megszerkeszthető.

-ha 0°<m(O)<90°, és AO távolsága kisebb, mint az AB távolsága, akkor csak egyféle derékszögű háromszög szerkeszthető, ha AO>=AB, akkor kétféle, és a háromszög oldalai a szögtartományba esnek.

-ha 270°<m(O)<360°, akkor ugyanaz igaz, mint az előbb, csak a háromszög oldalai nem a szögtartományba esnek.

Ha az A pont a szögtartományon is lehet, akkor a következőt tehetjük; tükrözzük középpontosan a szögtartományt az A pontra, ekkor a kettő egy paralelogrammát (vagy speciálisabb négyszöget, mint rombusz, téglalap, négyzet) alkot. A középpontos tükrözéssel a megszerkesztendő háromszöget is középpontosan tükröztük, így az B, C, B', C' pontok összesen egy olyan négyszöget határoznak meg, amelynek átlói ugyanolyan hosszúak és felezik egymást. Ilyen négyszög csak egy létezik; a négyzet. Tehát nekünk ebbe a paralelogramma alakú síkrészre egy A középpontú négyzetet kell szerkesztenünk úgy, hogy mind a négy csúcs darabonként a rombusz egy-egy oldalán helyezkedik el. Ezt úgy tudjuk megtenni, hogy az egész ábrát elforgatjuk 90°-kal az A pont körül, és ahol a szögszárak metszik egymást, ott lesznek a négyzet csúcsai, az eredeti ábrában pedig megtalálható a keresett egyenlő szárú derékszögű háromszög.

Viszont ez sem mindig sikerül; ha az A pont "túl közel van" az egyik szögszárhoz, akkor nem lehet a háromszöget megszerkeszteni. Ennek a diszkutálására most nem vállalkoznék, ahhoz még át kellene gondolnom.