Létezik olyan konvex nyolcszög, aminek oldalai valamilyen sorrendben 1,2,3,4,5,6,7,8 egység hosszúak, és minden belső szöge egyforma nagyságú?

Mivel a belső szögek 135°-osak, ezért a külső szögek 45°-osak, ez azt eredményezi, hogy ez a nyolcszög (ha létezik) kivágható egy téglalapból (esetleg négyzetből) úgy, hogy 4 oldala a téglalap oldalára illeszkedik, másik négy oldalát úgy kapjuk, hogy a téglalap négy "sarkát" levágjuk, a leeső darabok pedig egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Az egyenlő szárú derékszögű háromszögek befogói kiszámolhatóak Pitagorasz tételével.

A nyolcszög oldalai: 1,2,3,4,5,6,7,8, ezek közül valamelyik négy egy-egy derékszögű háromszögnek átfogója. Pitagorasz tétele szerint a befogók: 1/gyök(2), 2/gyök(2), 3/gyök(2), 4/gyök(2), 5/gyök(2), 6/gyök(2), 7/gyök(2), 8/gyök(2). Azt tudjuk, hogy a keresett téglalap két-két merőleges oldalának összege ugyanakkora. Találomra kreáljunk két ilyen összeget, és nézzük meg, hogy azok egyenlőek-e:

A téglalap egyik oldala: 8/gyök(2) + 1 + 6/gyök(2)

A téglalap másik oldala: 6/gyök(2) + 7 + 4/gyök(2)

A téglalap harmadik oldala: 4/gyök(2) + 5 + 2/gyök(2)

A téglalap negyedik oldala: 2/gyök(2) + 3 + 8/gyök(2)

A fentiek szerint az első két oldal összege és második két oldal összege meg kell, hogy egyezzen, tehát nézzük meg, hogy a két összeg egyenlő-e:

8/gyök(2) + 1 + 6/gyök(2) + 6/gyök(2) + 7 + 4/gyök(2) =? 4/gyök(2) + 5 + 2/gyök(2) + 2/gyök(2) + 3 + 8/gyök(2)

Természetesen a számológép is kiadja, hogy ezek nem egyenlőek, viszont a számológép csak erre a konkrét egyenletre mondja meg, hogy nem igaz. Próbáljuk meg úgy kitalálni, hogy az egyenlet nem igaz, hogy az bármilyen párosításnál megadja, hogy soha nem lehet egyenlőség (aztán lehet, hogy nem sikerül, de egy próbát megér). Szerencsére megtehetjük azt, amit általában az egyenleteknél, vagyis használhatjuk a mérlegelvet. Az összes gyökös (irracionális) tagot csoportosítsuk az egyik oldalra, az egészeket a másik oldalra:

1+7-5-3 =? 4/gyök(2) + 2/gyök(2) + 2/gyök(2) + 8/gyök(2) - 8/gyök(2) - 6/gyök(2) - 6/gyök(2) - 4/gyök(2)

A jobb oldalon mindenki azonos nevezőn van, tehát a műveleteket el tudjuk végezni:

1+7-5-3 =? (4+2+2+8-8-6-6-4)/gyök(2)

A bal oldal értéke azért könnyedén kiszámolható, 0. A jobb oldal értéke -8/gyök(2), ami nem 0. Ami viszont ennél is fontsabb, hogy akármi is lenne a bal oldalon, az biztosan egész lenne, vagyis racionális, a jobb oldalon racionális/irracionális alakú szám van, ami mindenképp irracionális, EGY ESETET KIVÉVE. Ha véletlenül meg lehetne oldani azt, hogy a valami/gyök(2) hányadosban a "valami" 0 lenne, akkor nem lehetne erre hivatkozni. Szóval meg kell néznünk azt, hogy megoldható-e, hogy a jobb oldalon az egyenletrendezés után 0 legyen.

Ahogyan az egyenletben is látható, a jobb oldali összeg rendezés után mindig valami (a+b+b+c-c-d-d-a)/gyök(2) alakú lesz, ami összevonás után (2b-2d)/gyök(2) alakú lesz. Itt a számláló csak úgy lehetne 0, hogyha b=d, tehát a nyolcszög valamelyik két oldala egyenlő hosszúságú lenne, ami nem kivitelezhető, tehát egyenletrendezés során a jobb oldalon mindig irracionális, a bal oldalon mindig racionális lesz, így tehát kizárt az egyenlőség. Tehát ezekkel az adatokkal a keresett téglalap nem létezik, így a keresett nyolcszög sem.