Van hat darab szabályos dobókockám. Egyszerre dobom fel mindet. Az a kérdés, hogy hány százalék esélyem van arra, hogy egy dobásból mind a hat dobókocka hatost mutasson?

Először is kiszámolnám, hogy hányféle kimenetele lehet annak, hogy 6 kockát feldobok. Ha nem megy, gondold végig kisebb számokkal... Hány kimenetel van 2-3 kockánál... Stb.

Utána végiggondolnám, hogy ebből a sok-sok lehetőségből hány esetén lenne az, hogy az összes kocka hatos.

Végül a második számot elosztanám az elsővel, és megkapnám a keresett értéket.

"50% - 50% vagy mind a 6 hatost mutat vagy nem"

Nagyon jó megközelítés.

Hiszen az összes esetek száma 2: hathatos és nemhathatos (nevezzük őket így)

A kedvező esetek száma 1: a hathatos.

A valószínűség:

A kedvező esetek száma/az összes esetek száma=1/2=0,5=50%.

És itt mutatkozik meg egy fontos dolog.Ez a módszer az esetek számának osztásával csak akkor alkalmazható, ha az esetek (események) valószínűsége egyenlő.

Másik kérdés, hogy az ilyen feladatoknál számít-e a sorrend. Szerencsére a valószínűség-számítás úgy működik, hogy sorrendtől függetlenül ugyanaz a valószínűség, tehát mi választhatjuk meg, hogy számokálunk-e a sorrendiséggel vagy sem. Van, aminor az egyikkel, és van, amikor a másikkal egyszerűbb számolni, de általában elmondható, hogy a sorrenddel számolva biztosan nem esünk csapdába, így sok esetben érdemesebb azt választani.

A csapda: legyen most csak két dobókocka. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a két kockán ugyanolyan szám áll?

Ha számít a sorrend, akkor az eseteket táblázatba foglalhatjuk, ekkor 36 esetet tudunk megszámolni, amelyek közül 6-nál van ugyanaz a szám, így a valószínűség 6/36=1/6.

Ha azt mondjuk, hogy nem számít a sorrend, akkor eshetünk a csapdába, ugyanis az azonos eseteket hajlamos az ember lehúzni, így a táblázatban 21 eset marad, ebből 6 esetben van ugyanaz a szám, így a valószínűséget 6/21-nek, vagyis 3/7-nek mondja, ez pedig hibás, pont a 5-ös válasz miatt. Ezt első körben sokan nehezen tudják felfogni, emiatt érdemes vele sokat foglalkozni. Ez főként azért van, mert egy-egy konkrét eset száma közel azonos; például az 12 kombinációt 2-féleképpen tudod kidobni, az 55-öt pedig egyféleképpen, de valahogy mégis úgy érzi az ember az esetek közelsége miatt, hogy a sorrend nem számít.

A 2-es válaszoló kimondatlanul a sorrendiséggel számolt, így abban biztosan nincs hiba. Ha nem sorrenddel akarnánk számolni, akkor ismétléses kombinációval kellene az eseteket összeszedni, ami sokkal macerásabb, ezért érdemesebb ennél a feladatnál sorrendiséggel számolni, annak ellenére, hogy egyébként így sokkal nagyobb a kedvező esetek száma és az összes esetek száma, mintha a sorrendet nem vennénk figyelembe.

#5

Érdekes gondolat, hogy számít-e a sorrend az esemény valószínűségének megállapításakor.

Mi áll emögött? Miközben a feladat kiírója esetleg kijelenti, hogy őt nem érdekli a sorrend. Pl. kétszer feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy a két dobásban lesz egy 1-es és egy 2-es?

Először is: én nem sorrendet mondanék. Hanem azt, hogy az esetek meghatározásakor megkülönböztetjük-e a tárgyakat, embereket. Egy elemi esemény-e a fenti bekezdésben említett eset? Vagy kettő aszerint, hogy először dobtuk-e az egyest vagy másodszorra?

Szabadon dönthetünk ebben a kérdésben? A válasz: nem. A helyes végeredményhez olyan elemi eseményeket kell meghatároznunk, amiknek a valószínűsége egyenlő. És a véletlen kimenetelű eseményeknél, pl. kockáknál, akkor lesz a több dobásból álló elemi esemény egyenlő valószínűségű, ha a kockákat megkülönböztetjük.

Mert így működik a világ.

#7

"Ha konkrétan megadják, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy elsőre 1-est, utána 2-est dobok, akkor természetesen kell a sorrendiséggel számolni."

És akkor is, ha azt mondják, hogy nem érdekli a kérdezőt a sorrend. Mint a 6-os hozzászólásban a 2. bekezdésben levő feladat. Ha erre a kérdésre úgy számítjuk ki a valószínűséget, hogy az esetek számlálásánal nem különböztetjük meg a kockákat (vagyis itt a dobásokat), a kijött számok sorrendjét, akkor rossz eredményt fogunk kapni.

Mint ahogy írtam, nem muszáj a sorrendiséggel számolni abban az esetben, DE ÚGY KÖNNYEBB. Meg lehet úgy is oldani, hogy a sorrendiséget nem vesszük figyelembe, de az macerásabb.

Egy másik példa úgy talán érthetőbb lesz, hogy mire gondolok.

A, B, C és D közül találomra kiválasztunk két különbözőt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy A-t és B-t is kiválasztjuk?

Ha számít a sorrend:

Összes eset: 4*3=12

Kedvező eset: 2*1=2

Valószínűség: 2/12 = 1/6.

Ha NEM számít a sorrend:

Összes eset: 4*3/2! = 6

Kedvező eset: 2*1/2! = 1

Valószínűség: 1/6

Tehát ugyanaz jött ki.

#9

most már végképp nem tudom, hogy van-e köztünk véleménykülönbség, vagy csak másról beszélünk.

Hadd tegyek fel egy kérdést, hogy ezt tisztázzuk.

Egy kalapban 4 cédula van, rajta betűk. A, B, C, C. Kétszer húzunk belőle, a kihúzott papírt nem rakjuk vissza.

Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott papírokon A és B van bármilyen sorrendben?

Mi az összes eset betüpárokkal felsorolva? Az összes eset olyan készlete, amivel a kedvező esetek számát elosztva jó valószínűséget kapunk.

Lehet az összes eseteknek két készlete sorrenddel és sorrend nélkül?

Bárki más is megoldhatja. :-)