Kotangens és tangens??

#1

"Ctg(x)>=8/5"

"Tulajdonképpen 1/tan(x)<=8/5"

ctg(x) azonosan egyenlő 1/tan(x)-el

cos(x)/sin(x)=1/(sin(x)/cos(x))

A nagyobb-egyenlő jelet nem kell megfordítani.

Definíció szerint ctg(x)=1/tg(x), viszont ennek van egy minimális szépséghibája, amire oda kell figyelni az ilyen egyenlőtlenségek megoldásakor. Egyelőre nézzük ezt az utat, majd a végén visszatérünk erre.

Tehát

1/tg(x) >= 8/5. A jobb érthetőség kedvéért a tg(x)-et cseréljük le valami másik betűre, mondjuk z-re:

1/z >= 8/5

Az ilyen jellegű egyenlőtlenségeket ritkán oldunk meg beszorzással, ugyanis akkor külön oda kellene figyelni az ismeretlen előjelére is. Ezeknél az egyenlőtlenségeknél azt szokás kihasználni, hogy egy tört értéke mikor kisebb/nagyobb 0-nál, ehhez a jobb oldalt redukáljuk 0-ra, vagyis kivonunk 8/5-öt:

1/z - 8/5 >= 0, közös nevezőre hozunk és elvégezzük a kivonást:

(5-8z)/(5z) >=0

Most feltehetjük a kérdést; mikor nagyobb egy tört értéke 0-nál? Hát akkor, hogy pozitív.

És mikor pozitív? Hát akkor, hogyha a számláló és a nevező előjele azonos. Tehát két lehetőséget kell számításba venni;

1. eset: mindkettő pozitív, vagyis 5-8z>0 ÉS 5z>0, tehát 5/8>z ÉS z>0, tehát 5/8>z>0 esetén valósul meg az eredeti egyenlőtlenség.

2. eset: mindkettő negatív, vagyis 5-8z<0 ÉS 5z<0, tehát 5/8<z ÉS z<0. Láthatóan a két egyenlőtlenség egyszerre nem valósul meg, emiatt itt nem találunk megoldást.

Tehát 5/8>z>0 az, amivel foglalkozunk kell. Most írjuk vissza z helyére a tg(x)-et:

5/8>tg(x)>0, ennek pedig nem nehéz megadni a megoldáshalmazát;

arctg(5/8)+k*pi > x > arctg(0)+k*pi, ahol k tetszőleges egész. Itt fontos, hogy a k*pi-nél mindkét esetben ugyanaz a betű álljon, esetünkben a k. Igény szerint ki lehet számolni arctg(5/8) és arctg(0) értékét, utóbbi fokban és radiánban is 0 lesz.

Még az egyenlőséget kell megvizsgálnunk; mikor 0 egy tört értéke? Akkor, amikor a számláló értéke 0, de a nevező értéke nem 0, tehát 5-8z=0, vagyis 5/8=z, viszont 5*(5/8)=25/8, ami nem 0, tehát ez egy valódi megoldás. Már csak az 5/8=tg(x) egyenletet kell megoldanunk, aminek pontos megoldása x=arctg(5/8)+k*pi, ahol k tetszőleges egész (itt már nem muszáj k-t használni, de jobb).

Értelemszerűen ezek uniója adja az egyenlőtlenség megoldáshalmazát, vagyis

arctg(5/8)+k*pi >= x > 0+k*pi, ahol k tetszőleges egész.

Amit még meg kell néznünk; a ctg(x) = 1/tg(x) azonosság a legtöbb esetben működik, 2 esetben azonban nem; akkor, hogyha x értéke radiánban mérve 0 vagy pi/2, illetve ezeknek k*pi-vel eltoltjaik, ugyanis ctg(pi/2)=0, viszont a jobb oldal nem értelmezhető, valamint ctg(0) alapjáraton nem értelmezhető. Tehát még azt meg kell néznünk, hogy a fenti megoldáshalmazban valahogy benne van-e a 0 vagy a pi/2. Szerencsére egyik sincs, úgyhogy ez a végső megoldás.

Algebrailag így lehet levezetni. Viszont az ilyen egyenlőtlenségeknél sokkal egyszerűbb a geometriai alakból kiindulni.

#4

"1/z >= 8/5 Az ilyen jellegű egyenlőtlenségeket ritkán oldunk meg beszorzással"

Kivéve ezt, ahol triviális, hogy z nagyobb, mint 0.

Nem vagyok biztos benne, hogy ezt az esetszétválasztásos bonyolítást az osztályozásnál méltányolni fogják.

De még egy általános helyzetben is sokkal egyszerűbb, ha beszorzol. Csak külön kell kezelni a negatívval szozást és meg kell fordítani a kisebb/nagyobb jelet. És a végén ellenőrizni kell, hogy a megoldás ismeretében a szorzó olyan előjelű-e, ahogy feltételeztük.

Pl. itt ez így nézne ki:

Megoldandó 1/z >= 8/5. Szorozzuk (5/8)z-vel.

a.) eset. Ha z>=0, akkor 5/8>=z. A feltétel teljesül, ha 5/8>=z>=0.

b.) eset. Ha z<0, akkor 5/8<=z. A feltétel sosem teljesül, itt nincs megoldás.

Nem sokkal egyszerűbb?

Az egyik, hogy ez nem mindenkinek átlátható. A másik, hogy arra kevesen gondolnak, hogy amikor ismeretlennel szoroznak, akkor annak az előjelét is figyelembe kell venni, ezért nem is nagyon szeretik ezt a módot tanítani. A harmadik, hogy tört>=0 alakúra rendezni az egyenletet rutinszerűen betanulható, és mivel csak ekvivalens átalakításokat végzünk (összeadás/kivonás), ezért biztos, hogy nem fognak gyökök keletkezni vagy elveszni, így biztosan lesz a kezükben egy eszköz, amivel meg tudják az ilyen jellegű egyenlőtlenségeket oldani, aki pedig kreatívabb, az kereshet más megoldási módokat is.

Egyébként meg azt mondtam, hogy geometriailag sokkal egyszerűbb megoldani, szóval teljesen fölösleges azon lovagolni, hogy a te megoldásod egyszerűbb-e, mert annál is van egyszerűbb.