Ennek a feladatnak hogyan kezdjek neki??

a*b*c= 216 cm3

2*(a*b + b*c + a*c) = 228 cm2

Legyen az eredeti téglatest három éle a<=b<=c, ekkor a legnagyobb, vagyis c élekre merőlegesen tudjuk csak elvágni a téglatestet úgy, hogy hasonló téglatestet kaphassunk, az új él hossza legyen k.

Könnyen megfontolható, hogy ez csak úgy tud működni, hogyha a k a legkisebb él lesz. Az eredetiben az élek növekvő (nem csökkenő) sorrendben a;b;c, az újban k;a;b, ezek hányadosa páronként meg kell, hogy egyezzen, tehát

a/k = b/a = c/b, ezek a hányadosok a hasonlósági arány, amit λ-val szoktunk jelölni. Most tegyük meg azt, hogy mindegyik élt kifejezzük az egyenletekből;

a/k = λ, vagyis a = k*λ

b/a = λ, vagyis b = λ*a, viszont a értéke a fenti egyenletből kiolvasható, így

b = λ*k*λ = k*λ^2

c/b = λ, vagyis c = λ*b, és itt is b helyére beírhatjuk az értéket:

c = λ*k*λ^2 = k*λ^3

Tehát az eredeti téglatest három éle felírható k;k*λ;k*λ^2 alakban, ahol λ>1

Most jön az, hogy felhasználjuk a feladatban megadott értékeket:

a test térfogata: V = a*b*c = k*λ*k*λ^2*k*λ^3 = 216 (cm^3)

a test felszíne: A = 2*(a*b+b*c+c*a) = 2*(k*λ*k*λ^2 + k*λ^2*k*λ^3 + k*λ^3*k*λ) = 228 (cm^2)

A két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, tehát egyenletrendszert alkotnak, ami megoldható. Ha értelmes megoldás jön ki rá, akkor jó, ha nem, akkor nem.

Ha minden igaz, akkor a megoldás az lesz, hogy λ=3/2 és k=8/3, ebből visszafejthetőek az élek, valamint k=27/2 és λ=2/3, viszont λ értéke itt 1-nél kisebb, tehát az alapvetésnek nem felel meg, így ez nem lesz megoldása a feladatnak.

Szerintem felesleges a λ-t mint új változót behozni.

Legyenek a téglalap oldalai csökkenő sorrendben a, b, c. A levágott darab oldalai b, c, d.

A hasonlóság miatt a:b=b:c=c:d. De a jobboldali egyenlőség nem is kell nekünk. Az arányosságban a kültagok és a beltagok szorzata egyenlő: ac=b^2

Ehhez hozzájön még az 1-es által is leírt 2 egyenlet.

Három egyenlet, három ismeretlen. A megoldás is iszonyú egyszerű és szép kerek számok jönnek ki.

Azért hoztam be, mert azt mondta, hogy a hasonlóságot veszik, így tudja hozzá kötni.

Persze ettől még meg lehet máshogyan is oldani. És nekem így is volt kézenfekvőbb, ugyanis arra hajtottam, hogy minél kevesebb ismeretlen maradjon, ezzel áttekinthetőbbé válik a feladat.

"Ha pl a legkisebb élnèl vágunk, akkor is lehetséges nem?"

Legyen az eredti téglának egy hosszú, egy közepes és egy rövid éle. Ha a hosszúnál vágunk, akkor megmarad a közepes, a rövid és a levághatunk egy nagyon rövidet.

De ha a rövidből vágunk, akkor megmarad a hosszú, a közepes. A két oldal közötti hosszúság nem lenne jó, mert akkor megváltozna az arány. Egy nagyon hosszúra lenne szükségünk, hogy illeszkedjen a mértani sorba. De hosszabbra vágni nem lehet. Vagy egy rövid kell, de akkor azt azt jelenti hogy az egész téglalapot "levágjuk".

Egyébként az én megoldásom miért nem tetszett? Szerintem sokkal áttkinthetőbb.

5-ös; valószínűleg a megoldókulcsod fordítva osztotta az éleket. Én az eredeti téglatest éleit osztottam a keletkező kisebb téglatest éleivel, így ott a λ

mindenképp 1-nél nagyobb. Ha a λ értékét fordított osztással definiáljuk, vagyis kicsi/nagy, akkor értelemszerűen a λ értéke 0 és 1 közé kell, hogy essen, tehát akkor λ=2/3-ra van szükség. Tehát az én levezetésem szerint a λ=3/2 lesz a helyes.

A másik kérdésre;

Legyen a három él 1;2;3 cm hosszú. Ha a legkisebbre merőlegesen vágunk, akkor a keletkező élek x;2;3 cm hosszúak lesznek. Mivel hasonló téglatestet akarunk, ezért 1/x=2/2=3/3-nak kell teljesülnie, így x=1-et kapunk, vagyis nem változott semmi.

Ha a középső élre merőlegesen vágunk, akkor hasonló a helyzet, mint az előbb, mivel a hasonlóság aránya ugyanúgy 3/3=1 kell, hogy legyen,á a leghosszabb élek hányadosa szerint, vagyis egybevágó lesz az eredetivel.