Hogyan lehetne azt bizonyítani, hogy parabolába nem lehet paralelogrammát írni?

Ha ennyi a feladat, akkor a válasz az, hogy végtelen sok paralelogrammát lehet írni a parabolába.

Nem inkább azt kellene bizonyítani, hogy nincs olyan paralelogramma, amelynek mind a négy csúcsa a parabola egy-egy pontjával megegyezik?

Attól függ, hogy mit értesz „beleírni” alatt.

Azt tudjuk, hogy 3 (nemlineáris) pont egyértelműen meghatároz egy parabolát, így az egymásba írt paraboláknak legfeljebb 2 pontja lehet közös, olyat pedig valószínűleg nem nehéz mutatni.

Ja, hogy paralelogrammát.

Abból kellene kiindulni, hogy a paralelogramma középpontosan szimmetrikus alakzat. Ez azért jó nekünk, mert ha van ilyen paralelogramma, akkor az egész hóbelebancot középpontosan tükrözve a paralelogramma középpontjára, akkor nyilván a paralelogramma benne marad a parabolában, viszont a paraboláknak akkor 4 metszéspontjuk lenne, azt meg azért tudjuk a parabolákról, hogy ha nem esnek egybe, akkor legfeljebb 3 metszéspontjuk lehet, és ez ellentmondás.

I. A paralelogramma pontjai A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C) és D(x_D,y_D). Az Ab és CD szakaszok párhuzamossága elég egyszerűen kifejezhető. Ekkor kapunk feltételeket a koordinátákra. Ezeket felírhatjuk az AD és BC szakaszokra, és adja magát, hogy nem lesz párhuzamos.

II. Az világos, hogy a parabola tengelye a paralelogramma csúcsait két csoportra osztja, aszerint, hogy melyik oldalán vannak. Most a két oldalon kell találni olyan pontpárt, hogy az általuk meghatározott egyenesek párhuzamosak legyenek. Mivel Lagrange tétele szerint egy görbe bármelyik szelőjéhez található a szeleten belül vele párhuzamos érintő, viszonylag egyszerű dolgunk lesz.