Az 𝑥+2𝑦=𝑐egyenletű egyenes érinti az 𝑥2+𝑦2=4egyenletű kört. Mekkora területű háromszöget zár be az egyenesa koordinátatengelyekkel?

Ide először ki kell számolni, hogy az egyenes hol metszi a koordináta tengelyeket:

az y tengelyt az x=0 pontban metszi, azaz 2y = c -> y = c/2

Az x tengelyt az y = 0 pontban metszi, azaz x = c

Ha a koordináta rendszerben ábrázoljuk ezt a két pontot (0, c/2) és (c, 0), akkor lehet látni, hogy ez egy derékszögű háromszög, szóval a terület megkapható az x * y / 2 = (c / 2 * c) / 2 =c²/4

azaz a háromszög területe = c²/4

Az első válasz nagyon szép!!

Egy kevésbé szép megoldás: [link]

Ebben a feladatban nem ahhoz kell sok ész, hogy a területet kiszámoljuk, hanem hogy az érintő egyenes egyenletét megkapjuk.

Mivel metszéspontot keresünk, ezért akét egyenletet tegyük egyenletrendszerbe:

x + 2y = c }

x^2 + y^2 = 4 }

Ebben az esetben c, mint paraméter szerepel.

Az első egyenletet érdemes x-re rendezni: x = c-2y, ezt beírjuk x helyére a kör egyenletében:

(c-2y)^2 + y^2 = 4, kibontjuk a zárójelet, de NEM TAGONKÉNT, hanem az (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 képlet alapján:

c^2 - 4cy + 4y^2 + y^2 = 4, rendezzük a jól ismert alakra az egyenletet:

5y^2 - (4c)*y + (c^2-4) = 0

A (4c)-t és a(c^2-4)-et azért tettem zárójelben, mert a megoldóképletben B és C helyére ezeket kompletten kell írni.

Ha felírjuk a megoldóképletet, akkor y1;2=valamictőlfüggőizéket kapunk. Ha egy egyenes egy kört érint, akkor ennek az egyenletnek csak egyféle megoldása lehet, tehát olyan számot kellene c helyére kapnunk, hogy y1=y2 legyen. Ezt úgy tudjuk elérni, hogy a megoldóképlet gyökös része (vagy a gyök(b^2-4ac)) értéke 0, az pedig csak úgy lehet 0, hogyha a gyökjel alatti rész (vagyis b^2-4ac, ezt máshogyan diszkriminánsnak hívjuk) értéke 0, tehát ezt kell megoldanunk:

b^2 - 4ac = 0, behelyettesítünk:

(-4c)^2 - 4*5*(c^2-4) = 0, ennek a másodfokú egyenletnek a két megoldása:

c1 = gyök(20) és c2=-gyök(20)

Ezen c értékek mellett fogja az adott egyenes a kört érinteni. Az érintési pontot is ki lehet számolni, hogyha nagyon akarjuk, de most nincs rá szükségünk.

Innen már a (derékszögű) háromszögek területei könnyen kiszámolhatóak.