Ez most miért nem jó megoldás?

Dehogynem. Csakhogy tanultál valami olyasmit, hogy ha negatív értékkel szorzol/osztol, akkor a reláció megfordul.

A lépésed csak X>0 esetén lesz igaz. Ha x<0-ra vizsgálódsz, akkor megfordul a reláció, így

1 < -X, vagyis X<-1 adódik.

Így jön ki az a megoldáshalmaz, amit felírtál.

Általában az ilyen alakú egyenlőtlenségek nagyon elfajulnak, hogyha szorzásonkánt/osztásonként esetszétválasztással számolunk, úgyhogy egy másik algebrai megoldási módot szoktak választani; adjunk hozzá az egyenlethez 1-et, hozzunk közös nevezőre és végezzük el a műveleteket;

(1+X)/X > 0

Tört értéke csak úgy lehet egész, hogyha a számláló és a nevező előjele megegyezik, tehát

-vagy 1+x>0 és x>0, tehát x>0,

-vagy 1+x<0 és x<0, tehát x<-1.

"Tört értéke csak úgy lehet egész"

Tört értéke csak úgy lehet POZITÍV

Nem. Annak kell megvizsgálni, amin/amivel a műveletet el akarod végezni. Például az

1/(1+x) > 1

egyenlőtlenség esetén (1+x)-szel szeretnél szorozni, tehát annak előjelétől függően fordul a reláció vagy nem.