Mekkora szöget zár be egy szabályos tetraéder magassága egy éllel?

1. A tetraédert 4 db, egyenlő oldalú háromszög határolja, amik oldalhossza "a". Az alapon lévő csúcsok: A, B, C, a tetraéder nem ABC síkon levő csúcsa D. A tetraéder magassága az ABC háromszög S súlypontja felett van: S = (A+B+C)/3

2. A magasságvonal a DS szakasz. A keresett szög: arccos(DS/DA) = arccos(DS/DB) = arccos(DS/DC)

3. D = S + h·[0;0;1] = [Sx; Sy; h], ahol négyzetgyök((Dx-Ax)²+(Dy-Ay)²+h²) = a

4. h-t visszahelyettesíted 2-be.

1) A magasság azokra az élekre, amelyekkel nincs közös pontja, merőleges.

Legyen alfa az a szög, amit a magasság a vele közös ponttal rendelkező éllel bezár. Ha az él hossza 1, akkor a szabályos háromszög magasságának 2/3 rész sqrt(3)/3, így

sin(alfa)=sqrt(3)/3 => alfa=35,26°

2) Legyen az alaplap éle 1, ekkor az alaplap területe sqrt(3)/4.

Az oldallap területe: ma/2=sqrt(3)/2, így ma=sqrt(3). Az alaplap magasságának harmada sqrt(3)/6. A keresett szög béta, ekkor

cos(béta)=1/6 => béta=80,41°.