Van-e az alábbi három síknak közös pontja? x + y + z = 1 -x + 8y + 2z = 0 -2x + 25y + 7z = 1

Mi nem megy ezen?

Ha van közös pontjuk, akkor annak a pontnak a koordinátái mind kielégítik az egyenleteket, magyarán a három egyenlet által alkotott egyenletrendszert kell megoldani.

Ha jól sejtem, akkor Gauss-eliminációt tanultatok, ehhez fel kell írni egy bővített mátrixba az együtthatókat:

[ 1 1 1 | 1]

[-1 8 2 | 0]

[-2 25 7 | 1]

Először érdemes kiválasztani egy szimpatikus oszlopot, és annyival szorozni mindegyik sort, hogy abban az oszlopban ugyanazok a számok legyenek. Ha az első oszlopot választjuk, akkor mondjuk hajtsunk (-2)-re, ehhez az elsőt (-2)-vel, a másodikat 2-vel kell szorozni:

[-2 -2 -2 | -2]

[-2 16 4 | 0]

[-2 25 7 | 1]

Most kiválasztjuk az egyik sort, amelyiknek elemeit kivonjuk a többi sorból. Legyen ez az első sor, ekkor ezt kapjuk:

[(-2) -2 -2 | -2]

[0 18 6 | 2]

[0 27 9 | 3]

A bal felső (-2)-est azért tettem zárójelbe, mert abban az oszlopban rajta kívül mindenki 0, tehát a kivonás szempontjából az már nem játszik.

A következő lépés ugyanaz lesz, mint az előbb; a középső oszlopban 54-et tudunk elérni;

[(54) 54 54 | 54]

[0 54 18 | 6]

[0 54 18 | 6]

Majd a 2. sort kivonjuk a másik két sorból:

[(54) 0 36 | 48]

[0 (54) 18 | 6]

[0 0 0 | 0]

Kaptunk egy nullsort, ami azt jelenti, hogy az mindig igaz lesz (0=0), így marad a másik két sor:

[(54) 0 36 | 48]

[0 (54) 18 | 6]

Tehát

54x + 36y = 48

54y + 18z = 6

Ennek a tanultak alapján (több ismeretlen van, mint egyenlet) végtelen sok megoldása van, tehát a három síknak lesz közös pontja, ráadásul végtelen sok.

Ha érdekel, meg lehet oldani az egyenletrendszert úgy, hogy valamelyik ismeretlen másik ismeretlen(ek) függvényében van megadva.

Ha összeadod az 1.és 2.egyenletet, kapod, hogy 9y+3z=1.

Ha az 1. egyenlet kétszereséhez hozzáadod a 3. egyenletet, kapod, hogy

27y+9y=3

A két egyenes ekvivalens, ezért végtelen sok közös pont van.

Amit a többiek írtak, az már a "pro" megoldás; ha az egyenletek lineárisan függnek egymától, vagyis az A B és C egyenletekre létezik a b és c nemnulla valós számok, hogy

a*A + b*B = c*C, akkor a C egyenlet kihúzható a feladatból, és csak az A és B egyenletekre kell koncentrálni (ahogyan a nullsor is megjelent a Gauss-eliminációnál).

Ezt viszont a lineárisan független egyenletekből álló egyenletrendszernél nem lehet eljátszani. Ráadásul nem is mindig magától értetődő, hogy melyik egyenleteteket mennyivel kell szorozni, hogy a harmadik egyenlet valahányszorosát kapjuk. Az ilyen esetekre marad a fenti, Gauss-eliminációs megoldási mód.

Arról még nem esett szó, hogy mikor nincs megoldás; ha a Gauss-elimináció esetén megjelenik úgynevezett tilos sor, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása. A tilos sor az ugyanolyan, mint a nullsor, annyi különbséggel, hogy míg bal oldalon csupa 0 szerepel, addig a jobb oldalon 0-tól különböző szám, például

[0 0 0 | 2]

Ha ezt visszaírnánk egyenletalakba, akkor ezt kapnánk:

0*x + 0*y + 0*z = 2, vagyis 0=2, ami nyilván nem igaz, emiatt nem lesz megoldása az egyenletrendszernek.

Bocs!

Az egyenletek ekvivalensek.

Itt láthatod:

[link]