Vektorok koordinátái feladat?

c) A vektorok koordinátáival azokat a műveleteket végezd el ami a vektorokkal ki van jelölve!

d)

v3=ka+lb

Írd fel koordinátákkal, és oldd meg a kapott egyenletrendszert!

Úgy érdemes megérteni ezeket, mint utasításokat; megadták, hogy merre szabad lépni, és a te feladatod az, hogy ezek alapján eljuss az A pontból B pontba.

Az (a;b) bázisban a és b vektorok szerint lépkedhetsz. Ott nincs nehéz dolgod, mivel megadták, hogy hogyan lépkedhetsz; 3-szor az a szerint és 5-ször a b szerint, tehát csak beírod a koordinátákat: v3=3*(i+2j-3k)+5*(2i+3j-k)=3i+6j-9k+10i+15j-5k=13i+21j-14k, tehát v3(13;21;-14)

A (v1;v2) bázisban v1 és v2 szerint szabad lépkednek, vagyis gyakorlatilag az

x*v1 + y*v2 = v3

vektoregyenletet kell megoldanod, csak úgy, mint ahogy a példákban láthattad, csak most x és y értéke a kérdés. Annyiban nehezedik a dolgunk, hogy v1 és v2 nem az i;j;k bázisokból épül fel közvetetten, hanem az a és b vektorokbók, így ezeket ki kell számolnunk:

v1 = 2a + b = 2*(i+2j-3k) + (2i+3j-k) = 2i+4j-6k + 2i+3j-k = 4i+7j-7k

v2 = a - b = (i+2j-3k) - (2i+3j-k) = -i-j-2k

v3 = 3a + 5b = 3*(i+2j-3k) + 5*(2i+3j-k) = 3i+6j-9k + 10i+15j-5k = 13i+21j-14k (ezt már azelőbb kiszámoltuk)

Így már csak be kell helyettesítenünk:

x*(4i+7j-7k) + y*(-i-j-2k) = 13i+21j-14k, kibontjuk a zárójeleket:

4xi+7xj-7xk + -yi-yj-2yk = 13i+21j-14k, összevonunk az i;j;k bázisok szerint:

(4x-y)i+(7x-y)j+(-7x-2y)k = 13i+21j+(-14)k

Az egyenlet két oldalán két vektor található. Két vektor csak akkor lehet egyenlő, hogyha ugyanannyi (egység)vektorból épülnek fel, tehát ugyanannyi i;j;k-nak kell kell lennie, tehát:

4x-y = 13

7x-y = 21

-7x-2y = -14

Értelemszerűen ezeknek egyszerre kell teljesülniük, így egyenletrendszert alkotnak. Három egyenlet van és két ismeretlen, és az is látható, hogy bármelyik kettő lineárisan független egymástól (vagyis egyiket sem lehet 0-tól különböző szám szorzásával megkapni a másikból), így vagy csak egy megoldása lesz az egyenletrendszernek, vagy egy sem. Ugyanúgy ki lehet számolni, ahogy szoktad, WolframAlpha szerint az eredmény:

[link]

Tehát x = 8/3 és y = -7/3, tehát a v3 a (v1;v2) bázisban így néz ki: v3(8/3;-7/3), ami csak annyit jelent, hogy v3=(8/3)*v1-(7/3)*v2, és ha beírod v1 és v2 helyére az (i;j;k) bázisban megadott alakokat, akkor pont v3 (i;j;k) bázisban megadott alakját fogod kapni.