Egy számtani sorozat első két elemének négyzetösszege 52, a második és harmadik négyzetösszege 100. Melyik ez a sorozat? Mennyi az első 20 tag összege?

Ugyanúgy kell elkezdeni, mint általában az ilyen jellegű feladatokat; felírod a tagokat a1 és d segítségével (én most a-val jelölöm az első tagot, a jobb áttekinthetőség érdekében):

a^2 + (a+d)^2 = 52

(a+d)^2 + (a+2d)^2 = 100

Mivel ezekenek egyszerre kell teljesülniük, ezért egyenletrendszert alkotnak.

Foglalkozzunk az első egyenlettel, az egy picit egyszerűbb. Kibontjuk a zárójeleket:

a^2 + a^2 + 2*a*d + d^2 = 52, összevonunk:

2*a^2 + 2*a*d + d^2 = 52, kivonunk 52-t:

2*a^2 + 2*a*d + d^2 - 52 = 0

Ezt az egyenletet meg tudjuk úgy oldani, mint a paraméteres egyenleteket; tekintsünk az a-ra úgy, mint az ismeretlenre, d-re pedig mint paraméterre, ekkor a megoldóképletben a=2, b=2*d és c=d^2-52, így

a(1;2) = [-2d +- gyök((-2d)^2-4*2*(d^2-52))]/(2*2), vagyis

a(1) = [-2d + gyök(-4d^2+416)]/4

a(2) = [-2d - gyök(-4d^2+416)]/4

Ezekkel kell továbbszámolni. Ezeket kell külön-külön beírni a helyére a második egyenletben, így különböző megoldásokat fogsz kapni.

Kis segítség, hogy milyen megoldásokat kell kapnod:

[link]

"Solutions" rész

Könnyebb lett volna úgy, hogy az a₂ = x, a₁ = x-d, a₃ = x + d

I. (x-d)² + x² = 52 → 2x² - 2xd + d² = 52

II. x² + (x+d)² = 100 → 2x² + 2xd + d² = 100

II. - I. 4xd = 48 → xd = 12 → x= 12/d

I. 2·144/d² - 24 + d² = 52 /-52

288/d² - 76 + d² = 0 /·d²

288 - 76d² + d⁴ = 0

Ennek 4 megoldása van:

2, -2, 6√2, -6√2