Sin2X egyenlő 2sinX-vel?

Nem egyenlő. De egy hasonló, de már igaz formula:

sin(2*x)=2*sin(x)*cos(x)

Ha a ,,miért nem?'' kérdést úgy kell érteni, hogy szeretnél egy fizikailag is szépen érzékelhető, szemléletes modellt látni ellenpéldaként, akkor az alábbira gondoltam egyelőre:

Van egy egységnyi hosszúságú mutatónk amely mondjuk épp vízszintesen jobbra mutat. Elfordítjuk mondjuk 30°-kal, az óramutató járásával ellentétesen, szóval pozitív irányba: ↺.

Persze ennek folyamán a mutató hegye nemcsak befelé mozdul,hanem egyben meg is emelkedik, az eredeti vízszintes szintjéhez képest valamekkora magasságban lesz. Mintha egy gömbölyű lejtőn gördülne fölfelé. A mutatóhegy így végül elért új magassága egyezik meg számértékben a szóbanforgó elfordulási szög sinusával.

Most képzeljük el, hogy az immár 30°-kal elfordult mutatóra (előzetes visszacsévélés nélkül) még újra ,,ráfordítunk'' 30° elfordulást (ugyanabba az irányba). A mutató még nem ,,fordul át'' a ,,csúcson'', mégcsak nem kerül derékszögbe sem, egyszerűen csak tovább fordul befelé és felfelé is. Az új magassága tehát immár ennek az új, kétszeres, 30° + 30° = 60° szögnek lesz a sinusa.

Most jön a lényeg. Vajon a második ,,ráfordítás'' során UGYANAKKORA MÉRTÉKBEN emelkedik-e tovább a mutató, mint amennyi az legelső fordítás során elért magasságemelkedése volt?

Ha magunk elé képzeljük a mutatót forgása közben

[link]

akkor láthatjuk, hogy a második elfordulása során a mutató immár egy jóval ,,lankásabbb'' lejtőn gördül felfelé, mint a legelső fordulás során. Először még szinte ,,falat kellett másznia'', de másodjára már csak lankás lejtőt (hiszen egy negyedkör felfelé lankásodik, legfelül már egész vizszintes, csak legtökalul meredek.

Ezért a ,,plussz'' emelkedésének mértéke is kisebb a második ,,ráfordulás'' során, mint a legelső magasságemelkedése volt.

Az első magasságemelkedés egyszerű számbeli megkétszerezése tehát TÚLBECSÜLI az együttes végső magasságemelkedést:

Ha α < 45°, akkor sin 2α < 2⋅sin α

Mindez persze nem bizonyítás volt, csak afféle fizikai modellel való szemléltetés.

Javítás:

Ha 0 < α < 45°, akkor sin 2α < 2⋅sin α