Nektek van kedvenc matek feladatotok és ha van akkor mi?

Keress olyan módszert, amivel bármelyik egész szám leírható pusztán három darab kettes, és műveletek segítségével. (Értsd: a leírt matematikai kifejezésben számjegyből csak 2-es lehet benne, más nem, abból is csak három darab.)

Részletek:

Ha mondok egy számot – mondjuk az 591-et –, akkor neked fel kell tudni írni egy olyan matematikai kifejezést, ami megfelel a feladat kiírásának és a lentebbi szabályoknak, és amely matematikai kifejezésnek csak és kizárólag az 591 az egyetlen értéke, semmi más. (Integrálás + konstans nem ér… ∞/∞ nem ér…)

Ér használni:

- Bármilyen középiskoláig bezárólag tanult műveleti jelet, függvényt: számok egybeírása, indexbe helyezése (pl.: 22²), faktoriális, trigonometrikus függvények, logaritmus, binomiális együttható, kerekítés (pl.: ⌈√2⌉, ⌊√2⌋), stb…

Nem ér:

- Betűvel, római, vagy más nem arab számmal leírni számokat, vagy más nem matematikai jellegű meghatározást adni. (Pl. XXIV, tizenhat, a hold átmérője méterben, tucat, stb…)

- Úgy általában nem matematikai jellegű – poénos – megoldást adni, átfogalmazni, belekötni a szabályokba, a feladatot megoldhatatlannak nyilvánítani (van megoldás).

- Változókat, matematikai, vagy fizikai konstansokat leírni. (Pl.: x, y, π (3,1415…), e (Euler-féle szám), φ (aranymetszés arányszáma), i (komplex számok imaginárius egysége), g (gravitációs gyorsulás), c (fénysebesség), ℏ (Plank-állandó), stb… Úgy triviális lenne, pl.: 5 = π/π + e/e + x/x + c/c - i*i)

További instrukciók:

- Minden jelölés szabályos matematikai jelölés kell, hogy legyen. Pl. számrendszernél ki kell írni a számrendszer alapját, tizedes tört esetén a tizedesvessző előtti nullát, stb…

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Nehezített változat: A feladat többi része és a szabályok ugyanazok, de csak egyetlen kettest használhatsz. (Ennek is van megoldása.)

Nem vagyok beteg. Legalábbis remélem, mert kicsit azért kapar a torkom. :-)

Na jó, ha már feltettem a feladványt, jöjjön a megoldás is. A történet az, hogy ezt a feladványt itt a GYK-en olvastam, bár itt nem annyira részletesen, csak az volt a feladat, hogy bizonyítsuk, hogy bármely szám felírható három darab kettessel. Hülyeségnek tűnt, így azt próbáltam bizonyítani, hogy ez lehetetlen, mert csak véges számú kifejezés írható fel. De rá kellett jönnöm, hogy tévedtem, mert vannak halmozható műveletek. Ilyen például a faktoriális: 22!, 22!!, 22!!!, 22!!!!, stb…. De ez túl gyorsan növekszik, nem megyünk vele semmire. Viszont ott a gyökvonás is, mint halmozható művelet: √2, √(√2), √[√(√2)].

Ez utóbbinál jöttem rá, hogy van még egy „trükk”, amit ki lehet használni. Vannak olyan műveletek, amelyek tulajdonképpen tartalmaznak valamilyen számot, de ezt a számot magát a műveleti jel nem tartalmazza. A négyzetgyök pont ilyen. Ugye ha nem négyzetgyökről van szó – ∛2 –, akkor ki kell írni, hogy hányadik gyökről van szó. No de a négyzetgyöknél nem kell kiírni, ha nincs a gyök bal felső sarkában indexben semmi, akkor alapértelmezetten négyzetgyökről van szó. Pedig tulajdonképpen ott van benne a kettes, mint szám, a √2 igazából ²√2 -t jelent.

Innen már derengeni kezdett a megoldás. Egy darab kettessel és megfelelő számú gyökjellel felírhatóak a következők:

√2 = 2^(1/2)

√√2 = 2^(1/4)

√√√2 = 2^(1/8)

√√√√2 = 2^(1/16)

√√√√√2 = 2^(1/32). Ha veszem ennek a kettes alapú logaritmusát, akkor már fel tudom azt írni, hogy 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32. Ha ennek is veszem a logaritmusát, akkor rendre -2, -3, -4, -5 fog kijönni eredményként. Ebből pozitív számot meg lehet kreálni akár abszolút értékkel, akár egy negatív előjellel. Egyszerűen csak annyi gyököt kell egymás alá halmozni egy kettes fölé, amekkora számot fel akarok írni. Mondjuk a +7-et így lehet felírni:

-log₂ [ log₂ ( √√√√√√√2 ) ] = -log₂ [ log₂ ( 2^(1/128 ) ] = -log₂ ( 1/ 128 ) = -(-7) = 7

A negatív számoknál egyszerűen meg el kell hagyni a negatív előjelet az egész kifejezés elől. Ami kimaradt, az a -1, 0 és az 1. Azt meg triviális felírni:

1 = 2 - 2/2 = 2-1 = 1

0 = 2 * (2-2) = 2*0 = 0

-1 = 2/2 - 2 = 1-2 = -1

~ ~ ~

Ezt feladtam egy csoportban feladatként. Akkor jött a pofon, mert valaki azt mondta, hogy „ugyan már, elég ehhez egyetlen kettes is”. Hittem neki. És voltam olyan ihletett állapotban, hogy relatíve gyorsan meg is találtam a megoldást. A sejtésem az volt, hogy a √2 lesz itt is a kulcs. Be is ugrott az un. Theodorus-spirál. Lásd: [link]

Ugye ez a Pitagorasz-tétel alapján belátható. Ha az egyik befogo √n, a másik befogó 1, akkor az átfogó:

c² = a² + b²

c² = (√n)² + 1²

c² = n+1

c = √(n+1)

Magyarán ha van egy √n átfogójú derékszögű háromszög, és ezt az átfogót egy új háromszög befogójának vesszük, aminek a másik befogója 1, akkor az így kapott átfogó √(n+1) hosszúságú lesz.

Remek most már csak trigonometrikus függvényekkel valahogy el kellene jutni egy befogótól egy átfogóig. Az egyszerűbben felírható kifejezésnél egy ritkán használt, legtöbbször csak említés szintjén bemutatott szögfüggvényt kell használni, a szekánst, ami az átfogó és a befogó aránya és a bezárt szög között teremt kapcsolatot.

sec(β) = c/a = 1 / (a/c) = 1 / cos(β)

Mivel a koszinusz kiváltja, ezért nem szokták használni. Mindenesetre nekünk most éppen kapóra jön:

tg(β) = b/a = b/1 = b

sec(β) = c/a = c/1 = c

c = sec(β) = sec(arctg(b))

√3 = sec(arctg(√2))

√4 = sec(arctg(√3)) = sec(arctg(sec(arctg(√2))))

√5 = sec(arctg(√4)) = sec(arctg(sec(arctg(√3)))) = sec(arctg(sec(arctg(sec(arctg(√2))))))

Innen már bármilyen számot fel tudunk írni. Ha a 9-et kell felírni, akkor az ugye √81, ergo 79-szer kell egymásba csomagolni a sec(arctg( függvényeket a √2 köré.

Akinek csalásnak tűnik a szekáns függvény használata, az a következő módszerrel is megkaphatja a √n -ből a √(n+1) -et:

√(n+1) = tg(arcsin(cos(arctg(cos(arctg(√n))))))

(Ennek levezetése itt: [link] )

Ezzel 2-től felfele minden számot fel tudunk írni. -2 alatt is bármilyen számot, csak kell egy negatív előjel. A 2 és a -2 felírása megint triviális, hiszen ehhez csak le kell írni azt a 2-est és kész. Maradt az 1 (és a -1), valamint a nulla. Ehhez csak meg kell fordítani a fenti függvényeket.

1 = tg(arcsec(√2)) = tg(arccos(tg(arccos(sin(arctg(√2))))))

0 = tg(arcsec(tg(arcsec(√2)) = tg(arccos(tg(arccos(sin(arctg(tg(arccos(tg(arccos(sin(arctg(√2)))))) ))))))

De lehet máshogy is, a tízes alapú logaritmus – lg(x) – függvénnyel is:

1 = lg(10) = lg(√100)

0 = lg(1) = lg(lg(10)) = lg(lg(√100))

*Az első feladatnál kimaradt, hogy van más lehetőség is. Például, hogy a belső logaritmus alapszáma alá halmozom a gyököket. Pl.:

7 = log_2 ( log_√√√√√√√2 (2)) = log_2 (128) = 7

-5 = -log_2 (log_√√√√√2 (2)) = -log_2 (32) = -5

Innen meg a két eljárás keverhető is.