Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek a kétszerese négyzetszám, és a háromszorosa egy egész szám harmadik hatványa (köbszám)?

Megoldásokat?

Amúgy 72

(1) 2x négyzetszám, ezért 2x prímfelbontásában szerepel a 2-es, mégpedig páros kitevőn, azaz x prímfelbontásában is van 2-es, mégpedig páratlan kitevőn

(2) 3x köbszám, ezért 3x prímfelbontásában szerepel a 3-es, a köb miatt 3-mal osztható kitevőn, azaz x prímfelbontásában is van 3-as, mégpedig olyan kitevőn, ami 3-mal osztva 2 maradékot ad

tehát x osztható 2-vel és 3-mal is

(3) mivel 3x köbszám, ezért x prímfelbontásában 2 kitevője 3-mal osztható, és (1) miatt páratlan; a legkisebb ilyen kitevő a 3

(4) mivel 3x négyzetszám, ezért x prímfelbontásában 3 kitevője páros, és (2) miatt 3-mal osztva 2 maradékot ad; a legkisebb ilyen kitevő a 2

tehát x osztható 2^3*3^2=72-vel

a legkisebb ilyen szám maga a 72

és valóban 2*72=144=12^2

3/72=216=6^3

Nagyon nincs mit magyarázni rajta.El kell kezdeni megvizsgálni,hogy melyik négyzetszámokra lehet igaz,mivel ezt képlettel nem igazán lehet megoldani,vagy ha igen,az túl magas szintű lenne(Gondolom háziról van szó).

Négyzetszámok: 4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144...

Csak a 11.-ig kellett menni.144/2=72,72*3=216,3.gyök alatt 216=6

Erre van egy sokkal egyszerűbb megoldás is!

Felírod az összes négyzetszámot és az összes köbszámot 300-ig. A szám amit majd végeredményül kapsz legyen x. Mivel úgy szól a feladat hogy ha megszorzod 2-vel négyzetszám ha pedig 3-mal köbszám ezért a négyzetszámoknál az x szer 2 képletet míg a köbszámoknál az x szer 3 képletet kell alakmaznod. Így a négyzetszámoknál kizárhatod az összes olyat ami nem osztható 2-vel. Így marad 7 lehetőséged. A köbszámoknál az összes olyat kizárhatod ami nem osztható 3-mal. Így marad 2 lehetőséged. Mivel a köbszámoknál kevesebb lehetőség van ezért ott érdemesebb alkalmazni a képletet ami ebben az esetben ugye 3 szor x. A két lehetőséged ami maradt a 27 és a 216. Ha 27-et elosztod 3-mal kilencet kapsz, tehát az x helyére behelyettesíted a 9-et (9 szer 3 = 27). Ez után ezt a 9-est behelyettesítheted a négyzetszámok képletébe (9 szer 2) így 18-at kapsz. Megnézed hogy van e 18 négyzetszámok közt. De nincs. Így számolsz tovább a köbszámoknál a 216-tal. Ha a 216-ot elosztod 3-mal 72-t kapsz. Ezt behelyettesíted a köbszámok képletébe (72 ször 3) majd pedig ezt behelyettesítheted a négyzetszámok képletébe is (72 ször 2) így 144-et kapsz. Megnézed a négyzetszámok közt hogy van e 144. Ott van. Így a 72 a helyes megoldás.