El tudnátok magyarázni?

Ez a megállapodás, hogy minden (0-tól különböző) szám 0-dik hatványa 1.

Ezen nincs is mit magyarázni, de az oka egyébként a következő: ha 0-hoz nagyon közeli x számokra számolod ki a 2^x hatványt, akkor 1-hez kerülsz egyre közelebb. Ki is lehet próbálni a számológéppel, hogy beírod, hogy például 2^0,00001

2^0,000000001

és így tovább, és látni fogod, hogy 1-nél csak kicsit (egyre inkább kevésbé) nagyobb számokat fogsz kapni. Ezért logikus megállapodni abban, hogy ha pont 2^0-t veszünk, akkor az legyen 1.

Nem, egyáltalán nem ez az oka... Ráadásul nem biztos, hogy törtkitevővel tanult már számolni, azonkívül nem hivatkozhatunk arra, hogy az a^x függvény folytonos, mert egyrészt ez nem igaz, ha a negatív vagy 0, és egyébként is olyan kifejezéseket kellene használni, mint például határérték-számítás, de még akkor is ott van az, hogy a függvénynek van határértéke az adott pontban, mégsem folytonos, mivel ott nem vesz fel függvényértéket.

Tanultatok olyat, hogyha azonos alapú hatványokat osztunk egymással, akkor a végeredményt úgy is megkaphatjuk, hogy az alapot a számláló és a nevező kitevőjének különbségére emeljük, például:

5^6/5^3, vagy "öt a hatodikon osztva öt a harmadikonnal". Ha ezt el akarjuk végezni, akkor a hatványozás definíciója szerint átírjuk a számlálót és a nevezőt:

(5*5*5*5*5*5)/(5*5*5), így láthatjuk, hogy 5-tel, 5-tel és 5-tel tudjuk egyszerűsíteni a törtet, így marad a végeredmény 5*5*5=5^3, amit úgy is megkaphattunk volna, hogy a 6-ból kivonjuk a 3-at, és arra a hatványra emeljük az 5-öt. Meg lehet nézni, minden számmal így működik.

Akkor most nézzük, hogy 5^4/5^4 értéke mennyi. A fenti megállapítás szerint kivonjuk egymásból a kitevőket, így 5^0-nt kapjuk, viszont ha manuálisan elvégezzük az osztást: (5*5*5*5)/(5*5*5*5)=1 (bár ez nem nagy meglepetés, mivel ugyanazokat a számokat osztottuk el egymással). Mivel két módon számoltuk ki az eredményt, de értelemszerűen csak 1 értéke lehet az osztás végeredményének (ha létezik), ezért azt mondhatjuk, hogy 5^0=1. Minden számra pont ugyanígy működik, kivéve a 0-t, tehát azt mondhatjuk, hogy minden nemnulla szám 0. hatványa 1. 0^0 azért nem működik, mert például a szabály szerint 0^0=0^3/0^3=0/0, ezt pedig nem tudjuk elvégezni, lévén a 0-val való osztás értelme.

Tehát ezért.

Egy másik megközelítés, hogy a hatványozást rekurzívan defniáljuk:

\forall p\in\mathbb{R},p\neq0: p^0=1, \forall n\in\mathbb{N}^{*}:p^n=p\cdot p^{n-1}

[link]