A matek OKTV II. kategória 2. fordulójának 4. feladatának mi a megoldása? (feladat lent)

Nincs meg a megoldás, de ha jól értettem a képletet, p=5 is jó:

(2^4-1)/5=3, nem?

... amúgy jó nagy m4rha vagyok, ez a kis Fermat-tétel a=2 esetre:

2^(p-1) p-vel osztva 1 maradékot ad

így minden prímre egész lesz a hányados

a négyzetszám még nincs meg

Ugyebár p=2 nem lehet jó, tehát p páratlan lesz. Ha p páratlan, akkor p-1 páros, tehát (p-1)/2 egész, tehát a számlálót írhatjuk így: ((2^(p-1)/2)-1)*((2^(p-1)/2)+1)

(a^2-b^2=(a+b)*(a-b) alapján)

Ennek a szorzatnak a tényezőinek a különbsége kettő, továbbá látható, hogy mindkettő páratlan, így relatív prímek, mivel nem lehet olyan szám, ami két ilyen közel lévő szám közül mindkettőt oszt.

Tehát két relatív prím szorzatát osztjuk a p prímmel, továbbá a kis-fermat tétel miatt a tört egész, így a p csak az egyiknek lehet az osztója. tehát p osztója vagy (2^(p-1)/2)-1 nek, vagy (2^(p-1)/2)+1 nek, viszont akkor másik négyzetszám lesz, ha az egész kifejezés négyzetszám, innen két lehetőség van:

1. (2^(p-1)/2)-1 = k^2 (k egész szám)

2^(p-1)/2

1. lehetőség:

(2^(p-1)/2)-1 = k^2

(2^(p-1)/2) = k^2+1

(2^(p-1)/2)= (k+1)^2-2k

(2^(p-1)/2)+2k=(k+1)^2

2((2^(p-3)/2)+k)= (k+1)^2 (p-3 is biztosan egész)

a bal oldalon álló szám páros a 2-es szorzó miatt, tehát

a jobb oldali is, tehát k páratlan, ha k páratlan, akkor (2^(p-3)/2)+k páros, mivel 2^(p-3)/2 páros, ekkor viszont a bal oldali kifejezésben a kettes az első hatványon áll, a jobb oldalon viszont egy páros négyzetszám áll, amiben a kettő biztosan páros kitevőn áll, ez tehát ellentmondás, kivéve, ha 2^(p-3)/2 nem páros, ez p=3 esetén teljesül, ekkor ugyanis 1. tehát innen p=3 megoldás.

2. lehetőség:

(2^(p-1)/2)+1 = n^2 (n egész)

(2^(p-1)/2) = k^2 -1= (k+1)*(k-1)

a bal oldalon egy kettő hatvány áll, a jobb oldalon pedig egy szorzat, így a tényezői is kettő hatványok. Azonban ezeknek a kettő hatványoknak a különbsége kettő (k+1 és k-1), ez viszont csak a 2 és a 4 esetén lehetséges, innen től kezdve a 2 hatványok különbsége szigorúan monoton nő, tehát:

(2^(p-1)/2)=2*4=8=2^3

tehát (p-1)/2=3, és innen jön a p=7 megoldás

Tehát valóban a p=3 és p=7 a két megoldás.