Mik azok a komplex számok? Tudnátok példát írni?

Wikipédia:

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak.

[link]

Ennél jobban én sem magarázhattam volna el.

(-1) gyökét jelöljük i-vel (a műszaki tudományokban gyakran j-vel). Komplex számot úgy kapunk, hogy egy tetszőleges valós számhoz hozzáadjuk i-nek valahányszorosát. Például 3+2*i, általánosan a+b*i, ahol a és b valós számok.

(Ovis magyarázat: a valós számok rajta vannak a számegyenesen, a képzetes számok nincsenek rajta. Kivéve, ha az adott képzetes szám valójában valós, azaz az a+b*i alakban i=0. Tudniillik, a valós számok halmaza részhalmaza a képzetes számok halmazának.)

Ha belegondolsz, akkor ahogy haladt előre az emberiség történelme, úgy folyamatosan bővültek a számhalmazok, mivel egyre bonyolultabb műveleteket kellett megoldani.

Egyes számhalmazok mindig beszorítottak valamilyen szabályok közé, tehát volt pár művelet, amit nem végezhettél el úgy, hogy biztosan az értelmezési tartományon belül maradj.

Először ugye voltak a természetes számok (N): 0, 1, 2, 3, 4, stb. Ez létező dolgok összeszámolására jó volt, de például az a művelet, hogy 1-3, értelmezhetetlenné vált, mert nem léteztek mínusz számok (kezdetben igény sem volt rá, mert nincs olyan, hogy valakinek -2 kecskéje van).

Aztán ahogy fejlődött a cserekereskedelem, kialakult a tartozás fogalma, stb, jöttek az egész számok (Z) amik az előző halmazt kiegészítették a negatív számokkal. Így az összeadás és szorzás után a kivonás is értelmezhetővé vált.

Viszont például az, hogy 3÷4, továbbra sem volt értelmezhető.

Így jöttek a racionális számok (Q), amik bármely két egész szám hányadosából előállíthatók, pl. az 0.5, 3.75, 12.125.

Viszont egy idő után ezt is ki kellett egészíteni, az ún. irracionális számokkal (Q*), mivel "fény derült" az olyan szépségek létezésére, mint a pí, vagy az Euler-szám.

A racionális és irracionális számok halmaza együttesen alkotja a valós számok halmazát (R). És ha magad elé képzelsz egy számegyenest, akkor láthatod, hogy minden "rés" ki van töltve, nem maradt hely több számnak a számegyenesen. Márpedig továbbra is vannak műveletek, amiket nem tudunk elvégezni... ilyen pl. a negatív négyzetgyök vonás, hiszen sqrt(-4)-nek még a valós számok halmazán sincs értelme.

Mivel a számegyenesen már nem maradt több hely, kellett egy másik "vonal", amivel ki lehet bővíteni a számok halmazát. Képzelj el egy koordináta-rendszert. A vízszintes (x) tengelyen ott van az összes valós szám, hiánytalanul betöltve a réseket. Ezért ez a valós (más néven reális) tengely, aminek Re a jele. A függőleges (y) tengely pedig az a tengely, amit a "képzeletünkben" helyezünk oda a számok halmazának bővítése végett, ezen nem megszámolható, valós értékek vannak. Ez a képzetes (más néven imaginárius) tengely, aminek Im a jele.

Minden komplex szám egy valós és egy képzetes részből tevődik össze. A képzetes résznek az egysége az i. Amíg a valós tengelyen az egységek 1, 2, 3, 4, stb., addig a képzetes tengelyen i, 2i, 3i, 4i, stb.

Ahogy mondtam, minden komplex számnak van valós és képzetes része. A komplex számokat általában z-vel jelöljük, és felírhatók így: z = a + bi. Ebben nyilván az "a" a valós rész, a "b×i" pedig a képzetes.

Az "a" a Re(z) [reális] a "b" pedig az Im(z) [képzetes]. Ez okozza azt, hogy a komplex számokat nem egydimenziós, hanem kétdimenziós szám"egyenesen" értelmezzük, tehát pontos helyüket két adat adja meg: a valós tengely koordinátája és a képzetes tengely koordinátája.

Tehát egy példa komplex számra: z = 2.5 + -3i