Valali el tudná nekem magyarázni az integrálás alapjait úgy, hogy egy olyan ember is meg tudja érteni, akinek csak egy közép matek érettségije van?

Első definíció szerint az integrál nem más, mint az a függvény, amelynek deriváltja az eredeti függvény. Például az int(x)dx az a (valós) függvény, amelynek deriváltja az x, ezért ennek a megoldása x^2/2 +C, ahol C tetszőleges valós szám (konstans). És valóban; ha ezt deriválod, akkor x-et kapsz. A +C-nek ebben az esetben csak annyi a szerepe, hogy C deriváltja 0, emiatt bármilyen szám írható C helyére. Ezt nevezzük határozatlan integrálásnak, az eredményül kapott függvényt pedig primitív függvénynek.

Ezután rájöttek, hogy az integrálásnak van egy másik fontos tulajdonsága; a függvény integrálja a függvény görbéje és az x-tengely által határolt síkidom alatti rész területét adja meg. Például ha megnézed az x függvényt, akkor a (0;0) ponttól indulva a függvény alatti terület egy derékszögű háromszög, amelynek területe valóban x^2/2. Ennél egy kicsit bonyolultabb a bizonyítása, de a megértéshez ennyi elég.

Lineáris függvény esetén nincs bonyulult dolgunk a függvény alatti terület meghatározásával, de mondjuk egy x^2 esetén már kevésbé egyszerű. Például nézzük a függvényt a [0;4] intervallumon. Ezen az intervallumon megtehetjük azt, hogy az intervallumot felosztjuk egyenlő részekre, például 4-re, majd ezekre a részekre téglalapokat rajzolunk úgy, hogy a téglalapok magasságai a függvényértékek; a legkisebb területű téglalap az első szakaszon 0 magasságú, a másik 1, a második szakaszon a legkisebb magassága 1, a legnagyobbé 4, a harmadik szakaszon a legkisebbé 4, a legnagyobbé 9, a negyediken a legkisebbé 9, a legnagyobbé 16.

Ha a kisebb téglalapokat összeadjuk egymással, akkor maga a görbe alatti terület alulról becsülhető. Ugyanezt a nagyobbak összegével felülről tudjuk becsülni. Tehát azt mondhatjuk, hogy a síkidom területe legalább 0+1+4+9=14, és legfeljebb 1+4+9+16=30. Ha viszont a felosztást finomítjuk, akkor egyre jobban közelednek egymáshoz ezek az összegek, és mivel a két oldal ugyanahhoz a számhoz tart, ezért azt mondjuk, hogy ezek a határértéke "végtelen finomítás mellett" megegyezik a síkidom területével. Ezt az eljárást egyébként Darboux-összegnek nevezzük.

A Riemann-integrálás hasonló a Darboux-összegzéshez, a különbség csak annyi, hogy a felosztás nem feltétlenül egyenletes, vagyis tetszőlegesen feloszthatjuk az intervallumokat, és az azokon kapott függőleges téglalapok területe is a síkidom területéhez fog tartani, hogyha "végtelenül finomítjuk".

"Hogyan lehet kiszámolni": mint írtam (és a gyakorlatban is így megy a számítás), azt a függvényt keressük, amit ha deriválunk, akkor az eredetit kapjuk vissza. Például ha az

pi/2

int cos(x) dx

0

határozott integrált szeretnéd kiszámolni, akkor először meg kell keresned azt a függvényt, amelyiknek a deriváltja a cos(x), erre a válasz a sin(x) (+C, de itt a +C-re nincs szükség, mert kivonás útján úgyis kiesik), ezután csak a sin(x) függvényben bepakolod x helyére a határokat, majd kivonod őket egymásból;

sin(pi/2)-sin(0) = 1-0 = 1, tehát a függvény alatti terület 1 területegységnyi.

Érdemes egy csomó nevezetes integrált ismerni ahhoz, hogy az integrálás gördülékenyen tudjon menni. Aztán ennél majd lesz meredekebb is; többszörös integrál, körintegrál, integrálás a komplex számok halmazán, stb.

Ajánlom figyelmedbe a Thomas-féle kalkulus I-II-III.-at. Kicsit drágák a könyvek, de pdf formátumban is megtalálhatóak az interneten.

[link]

have fun