"Mennyi a p és q prímszámok összege, ha 145p²-p=q²-q?"

Emeljünk ki p-t és q-t:

p*(145p-1) = q*(q-1)

Nyilvánvaló okokból, hogyha p;q pozitív prímek, akkor p>=q esetén a bal oldal mindig nagyobb lesz, így p<q marad. Ez azt jelenti, hogy a jobb oldal osztható kell, hogy legyen p-vel. Nyilván p|q nem fog működni, így marad az, hogy p|(q-1) lesz igaz, vagyis q-1=k*p, ahol k valamilyen egész szám. Ezt írjuk be:

p*(145p-1) = (k*p+1)*k*p, osztunk p-vel:

145p-1 = (k*p+1)*k, kibontjuk a zárójelet:

145p-1 = p*k^2 + k, rendezzük:

145p - p*k^2 = k+1, kiemelünk p-t:

p*(145 - k^2) = k+1, osztunk a zárójeles tényezővel:

p = (k+1)/(145-k^2)

Mivel p egész, ezért a törtnek is egésznek kell lennie. Értelemszerűen a k+1 mindig pozitív, így a nevezőnek is annak kell lennie:

145-k^2 > 0, ennek megoldása

gyök(145) > k, vagyis 12>=k

Tehát k, így p lehetséges értékeit le tudtuk szűkíteni 12 lehetőségre, amiket akár végig is lehet próbálni, viszont azt is tudjuk, hogy a számláló nagyobb kell, hogy legyen a nevezőnél, tehát

k+1 > 145-k^2, ennek megoldása k>11,54, vagyis k>=12 jön ki.

A két egyenlőtlenséget összevetve csak a k=12 jöhet szóba. Így pedig

p = (12+1)/(145-12^2) = 13/1 = 13, így pedig

145*13^2-13-p=q^2-q, ennek megoldása pedig q=157, ami szerencsére prím.

Ha negatív prímek is játszhatnak, akkor még tovább kell számolni.

4-es, igen, közben én is rájöttem, hogy valamit benéztem.

Nem tudom, hogy ennél van-e elegánsabb megoldás, nekem ezt sikerült kiizzadnom magamból.

Valamint azt sem tudom, hogy másodfokú egyenlőtlenségeket mennyire lehet zrínyis versenyen megoldani. Persze, meg lehet, csak a szint a kérdéses.