Pest vármegye bérlettel közlekedtek-e az Örs vezér tértől induló HÉV járművön?

Nem, csak a városhatártól érvényes a HÉV-re.

[link]

Budapesten belül tudom használni a Pest vármegyebérletet vagy az országbérletet?

Igen, de nem a BKK járatain. Mindkét bérlet felhasználható Budapest közigazgatási határán belül a MÁV-START vonatain, amennyiben azok nem felárasak, valamint a helyközi Volánbusz-járatokon a fővárosi agglomerációs vonalak – azaz a kék buszok – kivételével.

[link]

Vonaton érvényes bármeddig a városon belül.

Oda van írva magára a szelvényre is: "Érvényes MÁV-START, Volánbusz, MÁV-HÉV*"

"* MÁV-HÉVen csak Budapest határán kívül"

Tehát a válasz: Igen, de csak Budapest határán belüli első állomástól/állomásig. Onnantól a Budapest Bérlet érvényes, tehát ha van olyanod is, a kettő együtt érvényes a teljes vonalon.