Valakinek van kedve közösen matekozni?

13-as, leosztunk a-val, hogy a köbös tag főegyütthatója 1 legyen, és b/a c/a d/a helyett bevezetjük az alfa béta gamma konstanst. :D

Ki folytatja?

14-es: bevezetjük az y-t, ahol y=x + béta/3. Behelyettesítve x=y-béta/3 kifejezést az egyenletbe, ekvivalens egyenletet kapunk.

Hogyan tovább? Ki folytatja?

y*y*y - béta*y*y + (béta*béta * y)/3 - (béta*béta*béta) / 27 + béta*(y*y-2*béta*y/3 + béta*béta/9) + gamma*y - gamma*béta/3 + delta=0

y*y kiesik, így hiányos harmadfokú egyenletet kapunk:

y*y*y + (béta*béta * y)/3 - (béta*béta*béta) / 27 - 2*béta*béta*y/3 + béta*béta*béta/9 + gamma*y - gamma*béta/3 + delta=0

y-os tag összevonása:

y*y*y + (3*gamma - béta*béta)*y/3 - (béta*béta*béta) / 27 + béta*béta*béta/9 - gamma*béta/3 + delta=0

A következő alakra hozható:

y*y*y + p*y + q = 0, ahol p = (3*gamma - béta*béta)/3 és q=(béta*béta*béta) / 27 + béta*béta*béta/9 - gamma*béta/3 + delta

Legyen y=u+v, ahol u és v komplex számok!

Behelyettesítve:

(u+v)^3 + (u+v)p + q = 0

Átalakítva:

u*u*u + 3*u*u*v + 3*u*v*v +v*v*v + (u+v)p + q = 0

u*u*u + v*v*v + 3*u*v*(u+v) + (u+v)*p + q = 0

Innen kiemeljük (u+v)-t:

u*u*u + v*v*v + (u+v)*(3*u*v + p) + q = 0

Ez az egyenlet akkor teljesül, ha:

u*u*u + v*v*v = -q és

3*u*v = -p

Kétismeretlenes egyenletrendszert kaptunk. Meg kell oldani:

u*v = -p/3

u*u*u*v*v*v = (-p/3)^3

u*u*u = - v*v*v -q

Behelyettesítve a második egyenletet az elsőbe:

(- v*v*v -q)*v*v*v = (-p/3)^3

Legyen K=v*v*v ! Behelyettesítve:

(-K - q)*K = (-p/3)^3 másodfokú egyenletet kapjuk. Lerendezve:

K*K + q*K + (-p/3)^3 = 0

Alkalmazzuk a megoldóképletet:

K1,2 = (-q +- gyök(q*q - 4*(-p/3)^3))/2

U,V = köbgyök((-q +- gyök(q*q - 4*(-p/3)^3))/2)

U,V = köbgyök((-q/2 +- gyök(q*q/4 - (-p/3)^3)))

U,V = köbgyök((-q/2 +- gyök(q*q/4 - (-p*p*p)/27)))

Megoldása:

U,V = köbgyök(-q/2 +- gyök((q/2)^2 + (p/3)^3))

Innen viszont már más folytassa a komplex számokkal!

A harmadfokú egyenlet megoldása:

x= köbgyök(-q/2 + gyök((q/2)^2 + (p/3)^3)) + köbgyök(-q/2 - gyök((q/2)^2 + (p/3)^3)) - béta/3

p-be, q-ba, alfát, bétát, gammát, deltát visszahelyettesítve:

x= köbgyök(-(((b/a)*(b/a)*(b/a)) / 27 + ((b/a)*(b/a)*(b/a))/9 - (c/a)*(b/a)/3 + (d/a))/2 + gyök(((((b/a)*(b/a)*(b/a)) / 27 + ((b/a)*(b/a)*(b/a))/9 - (c/a)*(b/a)/3 + (d/a))/2)^2 + ( (3*(c/a) - (b/a)*(b/a))/3/3)^3)) + köbgyök(-((b/a)*(b/a)*(b/a)) / 27 + ((b/a)*(b/a)*(b/a))/9 - (d/a)*(b/a)/3 + (d/a))/2 - gyök(((((b/a)*(b/a)*(b/a)) / 27 + (b/a)*(b/a)*(b/a)/9 - (c/a)*(b/a)/3 + (d/a))/2)^2 + ((3*(d/a) - (b/a)*(b/a))/3/3)^3)) - (b/a)/3