Tartalmazza-e önmagát az önmagukat nem tartalmazó halmazok halmaza?

bár humor, de...

a halmaz egy pontos definíció által meghatározott objektum csoport. A definícióval szemben az a feltétel, hogy segítségével mindenről egyértelműen eldönthető legyen, része-e halmaznak, vagy sem.

Az önmagukat nem tartalmazó halmazok halmaza nem egyértelmű definíció, azaz az egész nem is halmaz.

ciki.

Ez a Russell-paradoxon, a megoldás:

"A Russell-paradoxon Bertrand Russell 1901-ben felfedezett matematikai logikai, ill. halmazelméleti paradoxonja, amely rávilágít, hogy a Cantor és Frege által megalkotott naiv halmazelmélet, illetve formalizált logikai elmélet ellentmondásos.

A paradoxon olyan érvelést használ, amelyhez hasonlóak tulajdonképp már több ezer éve ismertek voltak (ld. Epimenidész-paradoxon). Azt, hogy a paradoxonhoz vezető érvelés a halmazelmélet ill. logika matematikai elméletének ellentmondásosságát okozhatja, többen is felfedezték a tizenkilencedik század végén; például Ernst Zermelo matematikus és Bertrand Russell filozófus.

A paradoxon formális definíciója a következő: legyen R azon halmazok halmaza, amelyek nem tartalmazzák saját magukat:

A Cantor-féle halmazelméletben R jóldefiniált halmaznak tekinthető. A paradoxon lényegére rávilágító kérdés: eleme-e R önmagának?

Tegyük fel, hogy igen, . Ekkor R nyilvánvalóan nem olyan halmaz, ami nem tartalmazza saját magát, tehát definíció szerint nem eleme R-nek, azaz önmagának, ellentmondásra jutottunk.

Tegyük fel, hogy nem. Ekkor R nyilvánvalóan olyan halmaz, ami nem tartalmazza saját magát, tehát definíció szerint eleme R-nek, azaz önmagának, ismét ellentmondásra jutottunk.

Látható, hogy mindkét lehetséges feltételezés ellentmondásra vezet."

Forrás: [link]