Igazold, hogy (9^12-7^12) osztható 10-zel, hogy lehet igazolni?

Én így igazolnám:

[link]

Mit szólsz hozzá? Világos?

9 hatványai:

7⁰=1

7¹=9

7²=81

Tehát 9 hatványainak az utolsó számjegye: 1, 9 és innentől ismétlődik. Tehát ha a kitevő páros, a hatvány 1-re végződik, ha páratlan 9-re végződik. A 12 páros, tehát 9¹² 1-re végződik.

7 hatványai:

7⁰=1

7¹=7

7²=49

7³=343

7⁴=2401

Az utolsó számjegy 1, 7, 9, 3 és innentől ismétlődik. Tehát ha a kitevő 4-gyel osztható, az utolsó szemjegy 1, ha 4-gyel osztva 1 a maradék, akkor az utolsó számjegy 7 stb. Mivel 12 4-gyel osztható, ezért 7¹² 1-re végződik.

Két 1-re végződő szám különbsége 0-ra végződik, ezért osztható 10-zel.

Az elején helyesen:

9 hatványai:

9⁰=1

9¹=9

9²=81

9^12-7^12=(10-1)^12-(10-3)^12

Ha kifejtjük, akkor az utolsó tag hatványa kivételével mindenhol fog szerepelni a 10, mint szorzótényező, így azok oszthatóak 10-zel. Ami marad: (-1)^12+(-3)^12=1-3^12=1-9^6, itt megint ugyanezt eljátsszuk, így marad 1-1^6=1-1=0.

9^12-7^12=

(9^4)^3-(7^4)^3=

6561^3-2401^3

mármost

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

ezért a kifejezés osztható

6561-2401=4160-nal, azaz 10-zel is