Ötletek az alábbi rejtvény megoldására?

Analizálva a problémát, olyan kérdést kell feltenni, ami összefűzi a két madár válaszának értékét. Ha az egyik madár válasza X, a másiké ennek a negációja lesz, azaz ¬X (nem X).

Valahogy úgy kell összefűzni a két madár válaszát, hogy az egyértelműen visszaadja X-et.

A megoldás, ha megkérdezzük, hogy a másik madár szerint melyik ajtó vezet a mennyországba:

1. Ha igazmondó madár van, az tudja, hogy a másik hazudik, ezért a pokol felé mutat Y→¬X és mi Y-t, azaz ¬X-et kapjuk válaszul.

2. Ha a hazudós madár van, akkor ő tudja, hogy a másik a mennyország felé mutatna, de ő hazudik. Itt Y→X, de a madár hazugsága miatt ¬Y-t fogunk kapni, ami így egyenlő ¬X-el.

Tehát bármelyik madár is van ott, a „a másik madár szerint merre van a mennyország” kérdésre mindegyik a pokol felé fog mutatni.

Egyébként nekem a "mindig hazudik"-kal is gondom van, mert nekem önellentmondásnak tűnik. Hogy lehet mindig hazudni?

Ha érmét dob fel a mindig hazudós, akkor tudni fogjuk a válaszából, hogy fej vagy írás lett, mert mindig az ellenkezőjét fogja mondani.

Az ilyen példák garantálják, hogy soha egy gyerek se fogja tudni beleélni magát a matematikába, mert ilyen szinten nem képes hétköznapi fogalmakat használni. Aztán csodálkoznak, hogy egyrészt ennyien utálják a matematikát, másrészt meg ennyien nem értenek a pénzügyekhez, vagy bármi megtervezéséhez, mert életellenes példákon keresztül tényleg nem könnyű használható tudásra szert tenni.

> Egyébként nekem a "mindig hazudik"-kal is gondom van, mert nekem önellentmondásnak tűnik.

Miért is? Az állításoknak van igazságértékük. A mindig hazudó kizárólag olyan mondatokat mond, aminek az igazságértéke hamis. Ebben mi az önellentmondás?

> Ha érmét dob fel a mindig hazudós, akkor tudni fogjuk a válaszából, hogy fej vagy írás lett, mert mindig az ellenkezőjét fogja mondani.

Azt, hogy hazudik-e az könnyen megállapítható. Nem ez a gond. A gond az, hogy kizárólag egy dolgot kérdezhetsz, és válaszul azt kell megtudnod, hogy merre van a mennyország. Két kérdéssel pofonegyszerű lenne, elsőnek kiderítenéd, hogy igazat mond, vagy hazudik. Pl. megkérdezed tőle, hogy egy hangya, vagy egy elefánt nehezebb-e. A válaszból tudni fogod, hogy igazmondó, vagy hazug. Utána ennek fényében már a „merre van a mennyország” kérdésre adott válasz igazságértékét is tudod.

> Az ilyen példák garantálják, hogy soha egy gyerek se fogja tudni beleélni magát a matematikába, mert ilyen szinten nem képes hétköznapi fogalmakat használni.

Azért van minden tudománynak saját nyelve, mert abban egyértelműek az egyes szavak jelentései. A hétköznapi fogalmakkal az a gond, hogy homályos a jelentésük. Pl. mit jelent az, hogy valami nehéz? A tömege nagy, vagy a sűrűsége? A tömeg, sűrűség egzakt fogalmak, pontos jelentéstartamuk van, olyan jellemzőjét adják meg az anyagnak, ami jól mérhető. A nehéz meg egy relatív és eléggé homályos fogalom.

> Aztán csodálkoznak, hogy egyrészt ennyien utálják a matematikát

Egészen más ok miatt utálják meg. Ez messzire vezető téma, de alapvetően az egész oktatási módszertan a felelős ezért, csakhogy ami ezt okozza, azt nehéz megszüntetni. Sőt ha jobban belenéz az ember a problémába, alapvetően társadalmi, gazdasági okai vannak annak, hogy olyan az oktatás, amilyen. Amíg fontos, hogy kvázi egy adott életkorra a gyerekek többsége egy bizonyos mennyiségű tudást megszerezzen, addig lesz értékelés, osztályzás, dolgozat, stb… Ha viszont ezek vannak, akkor kizárólag a jó jegy, jó eredmény lesz a fontos, amit olyan áron is produkálni kezd valaki, hogy tulajdonképpen megértené, hogy miről van szó. Be lehet magolni egy „törttel úgy osztunk, hogy a reciprokkal szorzunk” receptet magolni, anélkül, hogy értenéd, hogy miért így kell csinálni. A jelenlegi – a tanár kezét is megkötő – oktatási rendben a tanár is nehezen fogja tudni megállapítani, hogy érted is-e a dolgot, vagy csak bemagoltál valamit.

> másrészt meg ennyien nem értenek a pénzügyekhez, vagy bármi megtervezéséhez, mert életellenes példákon keresztül tényleg nem könnyű használható tudásra szert tenni

A matematika nem feltétlenül, sőt elsősorban nem a praktikus dolgokról szól. Megtanítják ezt is, megtanítanak szorozni, osztani, vannak életszerű matekpéldák, megtanulsz kamatos kamatot is számolni például, és jellemzően pont olyan példákon át, hogy ha beteszel a bankba ennyit és ennyit…. Az már kérdés, hogy valaki nem tanulja meg, illetve elfelejti.

De a matematikának nem is ez a célja. A cél a logikus gondolkodás elsajátítása, hogy átlásd a problémát, és logikus úton eljuss a megoldásig. Ez a konkrét feladat inkább csak érdekesség, mert a megoldási menetéhez kell egy ötlet, némi kreativitás is. Ezt viszont kimondottan jól előhozza. Nem az a lényeg, hogy madárról, rendőrről, vagy ikerpárról – általában ebben a feladványtípusban ikerpár szokott lenni, kicsit fura is így madárral, hiszen a madarak ritkán beszélnek, és nem annyira intelligens lények – van-e mondjuk szó a feladatban, vagy hogy a mennyország kapuját, vagy az oázis felé vezető utat keressük, hanem az, hogy mennyire tudsz logikus rendszert felépíteni a már meglévő tudásodból. Mennyire tudsz akár teljesen szokatlan, nem életszerű esetből is absztrahálni, és az absztrakció mentén eljutni a megoldásig.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> De a két madár egymás válaszait is ismeri?

Mint általában ezt adottnak vesszük. Ha nem, akkor tudnak egymással beszélni. Ha „a” madár nem tudja, hogy mit válaszolna „b” a kérdésre, akkor majd valahogy elintézi, megbeszéli vele, stb…

"> Egyébként nekem a "mindig hazudik"-kal is gondom van, mert nekem önellentmondásnak tűnik.

Miért is? Az állításoknak van igazságértékük. A mindig hazudó kizárólag olyan mondatokat mond, aminek az igazságértéke hamis. Ebben mi az önellentmondás? "

Ha valaki mindig hazudik, akkor mindig igazat mond. Azért, mert tudom, hogy mindig hazudik. Ha nem tudnám, hogy mindig hazudik, akkor nem tudnám mikor mond igazat. Miért ne a hazugság lehetne a hazugság? Azért hazudom, hogy fejet dobtam, mert abban az igazságban hisznek, hogy hazudós vagyok, ezért arra a következtetésre fognak jutni, hogy valójában írást dobtam, miközben valójában fejet dobtam. Tehát fejet is dobtam, azt is mondtam, hogy fejet dobtam, de hazudtam.

A különbség a valóság és a matematika között, hogy a matematika már rátalált a végső igazságra, és meggyőzhetetlenül állítja, hogy mi az, onnantól kezdve meg nem nehéz az ellentettjét venni. A valóságban az igazság relatív.

A matematika a saját nyelvén belül konzisztens, de amikor emberi nyelvre van átfordítva, akkor megjelennek a következetlenségek. Pl. tipikusan a matematikában csak az a feladat része, ami meg lett adva, és amik abból kikövetkeztethetőek. Erre mondtam azt a példát, hogy nem lehet tudni, hogy tudják-e egymás válaszait.

Nekem sokszor volt bajom a matematikával az, hogy mintha ugyanúgy rontaná el a többség az adott feladatot, és akkor az a jó, mivel ők többen vannak.

Most nem akarok mélyebben belemenni, hogy a matematika és a valóság miért nem összeegyeztethető, de pl. szerintem nincs két egyforma dolog a világon, csak legfeljebb két olyan dolog, amik között adott szempontok szerint nincs különbség.

Vagy az csak a matematikában egy megkérdőjelezhetetlen dolog, hogy az egyik madár mindig igazat mond a másik meg mindig hazudik. Hiszen le van írva. Akkor azon már nem kell gondolkodni. Hinni kell benne. Igen, az egyik madár mindig igazat mond, a másik mindig hazudik. A mennyországot ha idehoznám, az túl populista lenne.

> Ha valaki mindig hazudik, akkor mindig igazat mond. Azért, mert tudom, hogy mindig hazudik.

Összekevered a „hazug” fogalmát azzal, hogy „be akar csapni”. Igaz az, ami megfelel a valóságnak. Hazugság az, ami nem felel meg a valóságnak. Függetlenül mindez attól, hogy téged ezzel átver-e vagy sem, vagy egy megállapításból te tudsz-e az igazságra következtetni, vagy sem. Ha ő azt mondja, hogy írást dobott, miközben fejet dobott, akkor hazudik. Ha te tudod róla, hogy hazudott, és meg tudod állapítani, hogy mi az igazság, az egy dolog. De ettől ő még nem mondott igazat.

Pont ezért lényeges, hogy definiáljuk mi az igazság és mi a hazugság, és ne valamiféle homályos hétköznapi, emberi fogalmakat használjunk. Igen, a definíció alapvetően önkényes, közmegegyezés szerinti dolog, de mindenképpen szükséges elfogadnia mindenkinek ugyanazt a definíciót, ha meg akarjuk érteni egymást. A hétköznapi igazság / hazugság fogalma tartalmazza a szándékot is. Az ember azért mond igazat, vagy hazudik, mert azzal egy adott hatást kíván elérni. A másik tetteit meg sokkal inkább a szándék alapján szeretjük megítélni. Viszont a matematikai fogalomban ilyen nincs. Logikai értelemben az igazság és hazugság mércéje kizárólag a valóságnak való megfelelés, így teljesen objektív, így mindenki számára – aki ismeri a fogalom definícióját – ugyanaz érthető alatta.

> A valóságban az igazság relatív.

Ez kissé filozófiai kitérő, de nézetem szerint nem lehet relatív. Igaz az, ami megfelel a valóságnak. Ha elfogadjuk, hogy egy valóság van, akkor egy igazság is van, pontosabban a dologról tett megállapítások személytől, vágyaktól, nézőponttó függetlenül igazak vagy hamisak.

Lehetnek különböző nézőpontok, de ezek mind abból fakadnak, hogy nem ismerjük a világ minden részletét, ezért más az értékrendünk. Az igazság – mint önálló fogalom – tehát nem relatív. Ami relatív az az, hogy mit fogadunk el igazságnak, de ez maximum a saját tudatlanságunkról tesz tanúbizonyságot, és nem a világról és az igazságról magáról. Ha Józsi bácsi meglátva a zsiráfot azt mondja, hogy „márpedig ilyen állat nincs”, akkor ez nem az igazság. Ő lehet, hogy tudatlansága, tapasztalatlansága miatt annak éli meg, de nem az.

> A matematika a saját nyelvén belül konzisztens, de amikor emberi nyelvre van átfordítva, akkor megjelennek a következetlenségek

Akkor nem jól alkalmazod. Adott egy probléma. A problémát megfogalmazod egy egzakt, absztrahált módon, azaz a matematika nyelvén. Filozófiai értelemben tulajdonképpen megkeresed a probléma egyes részleteinek az ideáját. Ezen a szinten oldod meg a feladatot, és ezt a megoldást fordítod aztán vissza a valóságra. Ha rosszul fordítod, akkor természetesen lesznek hibák, következetlenségek. Illetve sokszor az emberi nyelv önmagában tartalmazza a hibákat, következetlenségeket. De ez nem a matematika hibája, hanem annak a hibája, hogy hogyan használod. Ahogy írtad a matematika saját nyelvén belül konzisztens – legalábbis egy bizonyos matematika szintig, mondjuk halmazelméleti kérdésekig az – , tehát nincs vele gond.

> nincs két egyforma dolog a világon, csak legfeljebb két olyan dolog, amik között adott szempontok szerint nincs különbség

Egy ember meg egy ember, az két ember. Lehet persze azzal jönni, hogy nincs két egyforma ember, más a súlyuk, így ez így fals eredményt ad. Ez így nem igaz. Pl. ha számít a súly is, akkor rosszul absztraháltad a feladatot, mert akkor valóban nem csak a darabszám a lényeg. Ha csak a darabszám szerepel, akkor valószínű nem véletlenül csak az. Pl. ha egy várban vagy és két futárod van, így két másik várnak tudsz üzenni, akkor lényegtelen az, hogy a futárok nem egyenlő súlyúak, az egyik piros sapkát hord, stb…. Ott a darabszám számít, és ott egy ember meg egy ember, az két ember. Feltételezzük azt is, hogy mindkét futárnak van lába, el tudja látni a feladatát. Különben nem vennénk egy darab futárnak, hanem nulla darab futárnak vennénk, vagy nem így, hanem valószínűségszámítással oldanánk meg a feladatot. Ha egy híd teherbírását kell kiszámolni, akkor már nem biztos, hogy elég az emberek darabszámával számolni. Pont az a lényege ennek az absztrakciónak, hogy tekintsünk el a kérdés szempontjából lényegtelen dolgoktól, és számoljunk csak a lényeges tulajdonságokkal. Pont arra jó a matematika, amit neki hibaként rósz fel.

> Pl. tipikusan a matematikában csak az a feladat része, ami meg lett adva, és amik abból kikövetkeztethetőek.

Igen. Erre vagyunk kíváncsiak. Ha másra lennénk kíváncsiak, más adatokat kellene prezentálni.

> Erre mondtam azt a példát, hogy nem lehet tudni, hogy tudják-e egymás válaszait.

Igen, alkalmasint ez lehet kérdés. Sőt van olyan matematikai feladvány, ami ezt ki is használja. :-) Itt ez az információ valóban nem áll egzaktul rendelkezésre, a feladat megfogalmazása nem teljesen korrekt. De itt is van egy szokás, hogy a ki nem mondott információknak mi úgymond az alapértelmezése. Viszont egy nem korrektül megfogalmazott feladatot el is lehet ágaztatni. Ha információ hiány van, akkor bevehet a megoldásba. Jelen esetben úgy, hogy:

- Ha a madarak tudják egymásról, hogy a másik mindig igazat mond illetve hazudik, akkor az „a másik madár szerint merre van a pokol” kérdésre a mennyország felé fog vezetni.

- Ha madarak nem tudják egymásról, akkor egyetlen kérdésből nem lehet megállapítani, hogy merre van a mennyország.

> hogy mintha ugyanúgy rontaná el a többség az adott feladatot, és akkor az a jó, mivel ők többen vannak.

Ha te valaha láttál ilyennek matematikai feladatot, akkor ebből csak az derül ki, hogy nem értetted miről volt szó. Legalábbis azon a szinten, ahol mi most vitatkozunk, ez így van. A matematika ugyan absztrakció, de megfelelő esetek megalkotásával tulajdonképpen kísérletileg is igazolható. A megoldás helyessége objektív mérce, nem a közízlés, a divat, a többség dönti el, hogy mi jó és mi nem, hanem a valóság. Ha az emberek többsége azt gondolná, hogy a π az pontosan három, attól még nem lesz az. A π bármilyen kör esetén a kerület és az átmérő közötti arány, ami annyi, amennyi, függetlenül attól, hogy ki mit gondol róla.

> Vagy az csak a matematikában egy megkérdőjelezhetetlen dolog, hogy az egyik madár mindig igazat mond a másik meg mindig hazudik. Hiszen le van írva. Akkor azon már nem kell gondolkodni.

Pontosan, mivel ez a kérdéskör már nem a matematika kérdésköre. Mondjuk van egy 60 km/h-ás sebességgel haladó 1 tonnás autód, és ebből ki akarsz számolni valamit. Meg lehet kérdőjelezni, hogy valóban 60 km/h-ás sebességgel halad az autó, vagy hogy 1 tonnás-e? Természetesen igen. De ez a fizika feladata, hogy ő jól mért-e, figyelembe kell-e venni a mérőműszer hibahatárait, stb… Ha úgy ítéli meg a fizika, hogy az adatok kellően pontosak, akkor azokkal kell számolni. Ha kiderül, hogy nem, akkor változtatni kell a felhasznált matematikai módszereken. Megvan pl. a hibákkal való számolásnak is a matematikája. Pl. kijöhet olyan eredmény, ami „határeset”. Ha így van, akkor lehet kérni, hogy pontosabban mérjük meg az autó adatait, vegyük figyelembe mondjuk a közegellenállást, miegymást. De ez már nem a matematika gondja, hanem a fizikáé. De amint a matematikával foglalkozunk, akkor már nem kell megkérdőjelezni ezeket az adatokat.

Mondjuk úgy, hogy nem az a kérdés, hogy egy 60 km/h-ás 1 tonnás autó mit csinál, hanem az, hogy ha az autó 60 km/h-val haladNA, és 1 tonnás LENNE a tömege, akkor mit történNE vele. Erre pedig egzakt és pontos válasz van. Az adott modellen belül. Hogy aztán ezek egyeznek-e történetesen a valós autó adataival, az egészen más tészta.

> Hinni kell benne. Igen, az egyik madár mindig igazat mond, a másik mindig hazudik. A mennyországot ha idehoznám, az túl populista lenne.

Nem kell hinni semmiben. Itt nem arról van szó, hogy ténylegesen van egy madár, meg van egy másik madár, aminek megnézzük a tulajdonságait. Nincs mivel összevetni a tulajdonságaikat, hiszen nem ténylegesen létező dolgokról van szó. Értelmetlen kérdés az, hogy a madarunk mindig hazudik-e, hiszen nem létezik. A feladat azt kérdezi meg, hogy HA lenne ilyen madár, HA mindig hazudna, ha lenne ilyen szituáció, akkor mi lenne a helyzet.

Úgy érzem, valami nagyon elcsúszott nálad úgy az egész matematika értelmezésében sejtésem szerint valamikor nagyon korán. Persze ettől még lehettél akár jó is benne, meg ez nem feltétlenül téged minősít, legalábbis nem sértő szándékkal írom mindezt, de mindenesetre a jelek szerint valami nagyon nem stimmel nálad ebben a kérdéskörben.