MATEK FELADAT SÜRGŐSEN! (Egyenlet felírása szöveges feladat alapján)?

1)

x+y=76

x-y=18

________

2)

27+x=3*(3+x)

3)

2*(2*x+5*(18-x))=2(18-x)+5*x

Bár a feladat nem ez, sokkal érdekesebb ezeket egyenlet nélkül fejben megoldani. Egy kis logikai edzés. :-)

1.

"2 szám összege 76, különbségük 18"

Ha az összeghez hozzáadunk vagy levonunk 18-at, akkor a nagyobb és a kisebb szám kétszeresét kapjuk. (Mert a kisebb a nagyobbá, a nagyobb a kisebbé változik.)

(76+18)/2=94/2=47 (76-18)/2=58/2=29

2.

"Egy 27 éves apának 3 éves fia van. Hány èv múlva lesz az apa 3x annyi idős mint a fia?"

Az apa életkorából 3-szor levonva a fiú életkorát 18-at kapunk. Ennek a számításnak az eredménye évente 2-vel csökken. 9 év múlva lesz 0. Akkor az apa 36, a fiú 12 éves lesz.

3.

"18db pénzérmém van, csupa 2 és 5 forintos. Ha annyi 5 ft-osom lenne mint ahány 2 ft-osom van, és annyi 2ft-osom volna mint ahány 5ft-osom van, akkor 2x annyi pénzem lenne mint így. Mennyi pénzem van?"

Egy halomba 18 db 2 forintost teszek (36) egy másikba 18 db ötöst (90).

Ha megduplázom az első halom értékét (72) és levonom a másikból (90), az eredmény 18 lesz. Ha a két halom között kicserélek egy érmét, akkor az első halom értéke 3-mal nőni fog, a másodiké 3-mal csökkenni. Az előbb számított 18-as eredmény minden cserével 9-cel csökken. Két csere kell ahhoz, hogy 0 legyen.

Tehát van 16 kettesem és 2 ötösöm. 42 forint. Ha 16 ötösöm és 2 kettesem lenne, az 84 Ft lenne. Pont kétszeres.

Megkérdeztem. Még a helyesírást is kijavítottam.

"18 db pénzérmém van, csupa 2 és 5 forintos. Ha annyi 5 forintosom lenne mint ahány 2 forintosom van, és annyi 2 forintosom volna mint ahány 5 forintosom van, akkor 2-szer annyi pénzem lenne mint így. Mennyi pénzem van?"

Be kell ismernem, hogy jó választ adott.

"Legyenek az eredeti 2 forintosok száma x-el jelölve, tehát az 5 forintosok száma 18 - x-kal egyenlő, mivel összesen 18 érme van.

A feladatban szereplő feltétel szerint, ha annyi 5 forintosod lenne, mint amennyi 2 forintosod van, akkor az 5 forintosok száma x, a 2 forintosok száma pedig 18 - x lenne.

Most számoljuk ki, mennyi pénzed lenne így.

- Az eredeti pénzed:

2x + 5(18 - x) = 2x + 90 - 5x = 90 - 3x

- Az új elrendezés szerint a pénzed:

2(18 - x) + 5x = 36 - 2x + 5x = 36 + 3x

A feladat szerint az új pénzed kétszer annyi, mint az eredeti pénzed, tehát:

36 + 3x = 2(90 - 3x)

Oldjuk meg az egyenletet:

36 + 3x = 180 - 6x

36 + 3x + 6x = 180

36 + 9x = 180

9x = 180 - 36

9x = 144

x = 16

Tehát eredetileg 16 db 2 forintosod van, és 18 - 16 = 2 db 5 forintosod van.

Most számoljuk ki, mennyi pénzed van összesen:

2*16 + 5*2 = 32 + 10 = 42 forint.

Így tehát összesen 42 forintod van.

Adtam neki egy másik feladatot, amit én találtam ki és ezért nem találkozhatott vele:

"A 3B fagyizni megy. Mindenki annyiszor 100 forintot ad a közösbe, ahányadik a tornasorban. Fejenként 1 gombóc jut. Osztálylétszám?"

A megoldása:

"Legyen az osztálylétszám n.

Mivel mindenki annyiszor 100 forintot ad a közösbe, ahányadik a tornasorban, azaz az első 100 forintot ad, a második 200 forintot, a harmadik 300 forintot, és így tovább, az összesített összeg a következőképpen alakul:

Az osztály létszáma n, tehát az összeg az 1-től n-ig terjedő számok összege szorozva 100-zal. Az 1-től n-ig terjedő számok összege:

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Ezért az összes közös összeg:

100 * n(n+1)/2

Mivel mindenkinek 1 gombóc jut, és mindenki egy gombócért fizet, a közös összeg pontosan annyit kell hogy legyen, mint az osztálylétszám n gombócának ára (100 forintonként).

Ezért a következő egyenletet kapjuk:

100 * n(n+1)/2 = 100n

Egyszerűsítve:

n(n+1)/2=n

Most szorozzuk meg mindkét oldalt 2-tel:

n(n+1) = 2n

Majd vonjuk ki 2n-t mindkét oldalról:

n^2 + n - 2n = 0

n^2 - n = 0

n(n - 1) = 0

Ez két megoldást ad: n = 0 vagy n = 1.

Mivel n = 0 nem életszerű, az osztálylétszám n = 1.

Tehát az osztálylétszám 1 fő."

Egész jól megbírkózott a feladat egyes részeivel. De:

1. nem fogta fel, hogy a "közös" az a pénz összedobását jelenti.

2. nem ismerte fel, hogy a pénz több is lehet, mint a pontos ár. De ez még csak hagyján.

3. senki nem mondta, hogy egy gombóc fagyi 100 forintba kerül. Fel kellett volna vennie ismeretlenként.

De azért alsótagozatos szinten, rutinfeladatokra elég jó.

Még egy kicsit gyötörtem a ChatGPT-t. Megadtam neki az 5-ben szereplő feladatot azzal kiegészítve, hogy "Számold ki egyenlet nélkül!". Erre szó szerint megismételte az 5-ös megoldást.

Utána azt írtam neki: "A megoldásod nem egyenlet nélküli. Számold ki egyenlet nélkül!"

A válasza:

"Rendben, próbálkozom anélkül, hogy egyenletet használnék! A feladat azt mondja, hogy van 18 pénzérméd, és az érmék 2 és 5 forintosok. Ha felcserélnéd a kétféle érme számát, akkor kétszer annyi pénzed lenne. Nézzük meg, hogyan oldhatjuk meg ezt egyszerűbb logikai úton!

1. **Összes pénz**: Ha most van 18 érmed, és az egyik típusú érme 2 forintos, a másik pedig 5 forintos, akkor a jelenlegi pénzösszeged az alábbiak szerint alakul:

- Legyen mondjuk, hogy x darab 2 forintosod van. Ekkor 18 - x darab 5 forintosod van.

- Az összes pénzed tehát: 2x + 5(18 - x) .

2. **Ha felcserélnéd az érméket**: Ha a kétféle érme számát felcserélnéd, akkor az 5 forintosok száma x lenne, a 2 forintosok száma pedig 18 - x. Az új pénzösszeged tehát:

- 2(18 - x) + 5x .

3. **A kétszeres pénzösszeg**: A feladat azt mondja, hogy ha felcserélnéd az érméket, akkor kétszer annyi pénzed lenne, mint most. Tehát, ha a felcserélés utáni pénzösszeg kétszer annyi lenne, mint az eredeti, akkor biztosan egyensúlyban van a két helyzet. Így könnyen beláthatjuk, hogy a két pénzösszeg közötti különbség azt jelenti, hogy a 2 forintosok és a 5 forintosok száma ugyanakkora mértékben különbözik.

4. **Végső megoldás**: Tehát végső soron kiszámolhatjuk, hogy ha az érméket felcseréled, a két különböző érmét egyensúlyban tarthatjuk, és így a pénzösszeg is épp kétszeresére növekszik. Ez azt jelenti, hogy összesen **48 forintod van**, és a 2 forintosok száma 6, a 5 forintosoké pedig 12.

Ezzel az egyszerű logikai úton sikerült meghatároznunk a választ."

Már abba is belezavarodott, hogy mennyi 6 db 2 forintos és 12 db 5 forintos összege. Vagy be akar csapni, hogy hátha nem számolok utána. :-)

Tovább nyaggattam: "A megoldásod nem jó. - Ha a 2 forintosok száma 6, az 5 forintosoké pedig 12, az összegük nem 48. - És az érméket felcserélve az összeg nem növekszik pontosan kétszeresre."

A válasza:

"Igazad van, elnézést a hibáért! Próbálkozom ismét, most valóban egyenlet nélkül és gondosan átgondolva a lépéseket.

### Az érmék felcserélése

Adott tehát 18 érméd, amik 2 és 5 forintosok, és azt tudjuk, hogy:

- Ha a 2 forintosok számát a 5 forintosok számával felcseréled, akkor kétszer annyi pénzed lenne.

### Gondolkodjunk el a következőn:

1. **Jelenlegi pénzösszeg**:

Legyen x a 2 forintos érmék száma, akkor a 5 forintos érmék száma 18 - x. Az összeg így:

2 * x + 5 * (18 - x)

2. **Pénzösszeg felcserélés után**:

Ha felcseréled a kétféle érmét, akkor a 2 forintosok száma 18 - x, a 5 forintosoké pedig x. Ekkor az új összeg:

2 * (18 - x) + 5 * x

3. **A kétszeres összeg feltétele**:

Az új összeg kétszer annyi, mint a jelenlegi összeg. Tehát:

2 * (2 * x + 5 * (18 - x)) = 2 * (18 - x) + 5 * x

Most oldjuk meg ezt a feladatot gondolkodás útján:

### Logikai megközelítés:

- Az, hogy ha felcseréled a két érmét, a pénzösszeg kétszeresére nő, azt jelenti, hogy a 2 forintos és a 5 forintos érmék száma közötti különbség kulcsfontosságú.

- Ha azt feltételezzük, hogy a felcserélés hatására valóban kétszeres pénzösszeget kapunk, akkor a kétféle érme közötti különbség (a 2 forintosok száma és a 5 forintosok száma közötti különbség) egyszerűen segíthet minket a megfelelő számok megtalálásában.

A helyes válasz tehát: **30 forintod van.**

Ez úgy jön ki, hogy a 2 forintosok száma 6, és a 5 forintosok száma 12. Ha ezt felcseréljük, akkor valóban kétszer annyi pénzünk lesz, azaz 30 forint."

Egyre csökken a színvonal és egyre jobban fossa a betűket. Remélem nem hülyült meg véglegesen. Tovább nem folytatom, mert a végén begorombul és leigázza a világot. :-)