Aki csak 1 mezovel jatszik gépi lottot valamikor fog nyerni?

Megőrülök ezektől a kérdésektől. Nem kis küzdelmem volt már ezzel a kérdéskörrel a napokban.

Ha egyetlen szelvénnyel játszol, és csak egyetlen egyszer, akkor is lehet ötösöd. És ha 15 ezer szelvénnyel hetente, és ötezer évig, akkor sincs rá semmi garancia. Elvileg még az is előfordulhatna, hogy 5000 év alatt, még egy kettesed sem lesz.

Induljunk ki a dobókockából, azzal talán könnyebb lesz megérteni a dolgot.

Dobsz dobókockával. Mekkora eséllyel dobsz hatost? Nyilván 1/6 eséllyel dobsz. Mekkora eséllyel lesz öt egymás utáni dobásban hatos? Ha innen indulunk ki, akkor nehezebb lenne felírni a képletet, mert ki kellene számolni, hogy mekkora eséllyel dobsz egy hatost, mekkora eséllyel két hatost, mekkora eséllyel három hatost, és ezeket összegezni.

Egyszerűbb, ha fordítva ülünk fel a lóra, és azt számoljuk ki, hogy mekkora eséllyel nem dobsz öt dobásból hatost, és ezt 1-ből levonva megkapjuk, hogy a hatos dobás eséllyét.

Az esetek 5/6-ban az első dobás nem lesz hatos. Ezeknek az eseteknek az 5/6-ban lesz a második dobás is hatnál kisebb, tehát 5/6 * 5/6=25/36 az esélye, hogy az első két dobásban nem lesz hatos. Ha megnézed, összesen 6*6=36 különféle eset van, ebből 11 olyan, amiben van hatos – 1-6; 2-6; 3-6; 4-6; 5-6; 6-1; 6-2; 6-3; 6-4; 6-5; 6-6 – a maradék 36-11=25 esetben nincs hatos. A harmadik dobásnál ezeknek az eseteknek az 5/6-ban nem lesz a harmadik dobás sem hatos, az esélye ennek 5/6 * 5/6 * 56

Ha n-szer dobsz kockával, akkor:

(5/6)^n eséllyel nem lesz hatos a dobásaidban, így

1-(5/6)^n eséllyel lesz legalább egy hatos a dobásaidban.

~ ~ ~

A lottónál ugye az öttalálatos esélye 1/43 949 268

Nyilván minden másnak az esélye: 43 949 267/43 949 268

Így n egymás utáni független húzás esetén annak az esélye, hogy lesz öttalálatosod:

1 - (43 949 267/43 949 268)^n

Egy 101 196 929 hetes (majdnem kétmillió éves) időintervallumban lesz kb. 90% az esélye, hogy lesz legalább egy öttalálatosod.

Egy 30 463 310 hetes (majdnem félmillió éves) időintervallumban lesz kb. 50% az esélye annak, hogy lesz legalább egy öttalálatosod.

Egy 4 630 518 hetes (majdnem 9 ezer éves) időintervallumban lesz kb. 10% az esélye az öttalálatosnak.

Egy 4 630 518 hetes (majdnem 9 ezer éves) időintervallumban lesz kb. 10% az esélye az öttalálatosra.

Egy 43 972 hetes (majdnem 850 éves) időintervallumban lesz kb. 1% az esélyed az öttalálatosra.

Egy 5218 hetes – százéves – időintervallumban kb. 0,01187207% eséllyel lesz öttalálatosod.

Kisebb időintervallum esetén vagy ki tudod számolni pontosan, de ha az előző százéves időintervallumot arányosítod, az is minimális eltérést fog jelenteni, hiszen az eltérés azokból az esetekből fakad, mikor kettő vagy több öttalálatosod is van az adott időintervallumban, ami ekkora időtartamban szinte elhanyagolható esélyű.

Privátban jött a kérdés, hogy mi a helyzet a skandináv lottóval.

Skandináv lottó esetén 35 számból játszható meg 7 szám és 7 számot is sorsolnak, így egy sorsoláson a héttalálatos esélye:

35!/((35-7)! * 7!) = 1:6 724 520

A csavar a dologban az, hogy két sorsolás van, kvázi olyan, mintha ötöslottón két hétre tennéd meg ugyanazt a szelvényt.

Így annak az esélye, hogy egy adott héten lesz héttalálatosod:

1-((6724520-1)/6724520)² ≈ 1 / 3 362 260

De kezelhetjük továbbra is úgy, mintha a skandináv lottón ugyanazt a szelvényt megjátszva két független sorsolás lenne egymás után, ahol a héttalálatos esélye:

1 : 6 724 520

~ ~ ~

Így n hét esetén annak az esélye, hogy lesz legalább egy héttalálatosod:

1-((6724520-1)/6724520)^(2*n)

2 330 541 hét (kb. 45 ezer év) esetén lesz kb. 50%-os esélyed a héttalálatosra.

5218 hét (száz év) esetén kb. 0,155072% esélyed van a héttalálatosra.

~ ~ ~

A két játékot összevetve az látszik, hogy a skandináv lottón nagyobb eséllyel lesz telitalálatosod. De nem csak a telitalálatra lesz nagyobb esélyed, hanem alacsonyabb találatokra is. Cserébe viszont a nyeremények is kisebbek.

Összességében meg teljesen mindegy, mert az adott játékból származó bevételnek ugyanúgy a 40–60 van szétosztva nyereményként, így hosszútávon a megjátszott szelvények árának kb. a fele lesz várhatóan a nyeremények összege.