Mi a függvényeknél az értékkészlet, értéktartomány, maximum, minimum?

A függvényeknek egy kis részét tanuljátok (középiskola/általános?) csak.

Ezek ha jól gondolok, olyan f hozzárendelések, amik

1. valós számhoz rendelnek valós számot:

minden x ∈ ÉT (értelmezési tartomány) ⊆ R (valós számok részhalmaza) számhoz hozzárendel pontosan egy y ∈ ÉK (értékkészlet) ⊆ R számot

2. felírhatóak explicit alakban, azaz f(x) = y, vagy f(x) - y = 0

ÉT: azon x-ek halmaza, amelyeken f(x) értelmezett művelet.

ÉK: azon y-ok halmaza, amelyet az f(x) művelet felvehet.

Mindkettő lehet korlátos vagy nem korlátos. Pl.:

[link]

ÉT: R (bármely valós szám), ÉK: minden y ∈ R, ahol y >= 0

[link]

ÉT: R, ÉK: R

[link]

ÉT: periodikus, ÉK: R

[link]

ÉT: R, ÉK: minden y ∈ R, ahol 1 >= y >= -1

[link]

ÉT: R, ÉK: minden y ∈ R, ahol y >= 0

[link]

.. (Domain = ÉT, Range = ÉK)

[link]

..

[link]

..

Szálsőértékek -

Minimum: a legkisebb érték, amelyet a függvény felvesz, eleme az ÉK-nek

Maximum: ..

Zérushely: ahol a függvény értéke, azaz f(x) felveszi a 0 értéket.

Monotonitás: nő vagy csökken a függvény értéke, azaz f(x)

Tartomány jelölése: R: valós számok halmaza, (-1;1) [-1;1] (-1;1] [-1;1)

(-inf.;inf.) [0;inf.) [-inf;pi/2) ...

szögletes inkluzív, sima exkluzív, végtelen (inf. vagy fordított 8-as) nem egy valós szám, szóval az mindig sima zárójel.

Áltsulis módszerekkel valahogy úgy tippelheted meg az értelmezési tartomány nevezetes pontjait, hogy visszavezeted a függvényedet egy nevezetes függvényre, majd elvégzed az átalakításokat lépésenként. Nem nagyon emléksze trükkökre már.

Középsulis módszer: megtippeled a nevezetes értékeket, felírsz egy táblázatot, ahol azt írod le, hogy az f derivált (f') és az f derivált deriváltja (f'') mikor 0, mikor pozitív értékű, mikor negatív. Derivált annyit tesz, hogy a függvényed minden pontjában, ahol van érintő (deriválható), a deriváltfüggvény megadja az érintő meredekségét (szög tangense). A másodfokú derivált a derivált függvény deriváltja.

Pl. x^3 + 2x^2 + 8 deriváltja 3x^2 + 4x lesz:

[link]

Pontos módszereket nem tudok, de erre van a könyv.

Egy függvény egy F halmaz elemeihez rendel hozzá egy I halmaz elemei közül: f:F\to I, x\mapsto f(x). Ha kicsit elemzed a mondatot, rájössz, hogy F nem minden eleméhez lesz pár a függvény szerint, és I nem minden eleme lesz párja valakinek. Leszűkítjük tehát a lehetőségeket, csak azokat vesszük figyelembe, akiknek van párja a függvény szerint.Tehát:

* Az értelmezési tartomány azon elemek halmaza, amikhez valamit hozzárendel a függvényünk.

* Az értékkészlet azon elemek halmaza, amiket valamihez hozzárendel a függvényünk.

Vegyünk példának okáért egy függvényt, legyen ez az f(x)=(x+1)/(x-1). Világos, hogy ha a nevező 0, akkor a függvény nem értelmezhető, tehát ez az értelmezési tartományban nem lehet benne. Csúnyán mondva a függvény nem értelmes ebben a pontban. A nevező akkor lesz 0, ha x=1. Tehát az értelmezési tartomány:

ÉT=R\{1}.

Kicsit átalakítva a függvényt feltűnik, hogy az 1 környékén is egészen furán fog viselkedni. Egész konkrétan az

(x+1)/(x-1)=1

egyenletnek nincs megoldása. Tehát az értékkészletből ez az érték kiesik, így írhatjuk:

ÉK=R\{1}.

A maximum és a minimum ún. szélsőérték. Ez azt jelenti, hogy a függvény vagy az adott érték környezetében, vagy a teljes értelmezési tartományon nem megy túl rajta. Ez akkor lehetséges, ha az értékkészlet korlátos halmaz. (Visszafelé nem igaz, hiába korlátos az ÉK, a függvénynek nem biztos, hogy lesz szélsőértéke, elég az 1/x függvényre gondolni.) Ha a függvény nem konstans egy intervallumon, és annak végpontjaiban a függvény értéke egyenlő, valamint az intervallum része az értelmezési tartománynak, akkor ott van szélsőérték.

Ez egyébként ad egy ötletet a szélsőérték megkeresésére. Ha az intervallum "elég rövid", akkor akár a kezdő, akár a végpontja "elég közel" lesz a szélsőértékhez. Ekkor a kezdőpontot x-szel, a végpontot x+ε-nal jelölve kapjuk, hogy f(x+ε)-f(x)=0. Így kapunk egy egyenletet, amit megoldunk x-re. Jó eséllyel ε-nal egyszerűsíthetünk, hát mindenképpen tegyük is meg. Ezzel kapunk x-re egy konkrét értéket, na, itt lehet a függvénynek szélsőértéke.

Például vegyük az f(x)=x²-2x+5 függvényt! Ekkor f(x+ε)=(x+ε)²-2(x+ε)+5=x²-2x+5+2xε+ε²-2ε. A különbségük: 2εx-2ε+ε²=ε(2x-2+ε), ez kell nulla legyen. Minket az x érdekel, tehát

2x-2+ε=0, ebből pedig kapjuk, hogy

x=1+ε/2. Ha pedig ε=0, akkor x=1. És ez tényleg a szélsőérték lesz, már csak el kell döntenünk, hogy minimum vagy maximum-e.

Ha a függvényünk valami "bonyolult" függvény (trigonometrikus, exponenciális), akkor is használható, csak éppen időnként ügyeskednünk kell.