Mit csinálhatnék a pi röl, egy fizika 5-ösért?

:D :D :D

amúgy 2-es számrendszerben 1 az utolsó számjegye... :D

Mondjuk kiguglizod és összeraksz egy anyagot, ami a történelmét felöleli.

elkezded a kör négyszögesítési kísérleteinél, folytatod azzal, maikor bizonyították, hogy irreális szám, majd befejezed a mai állapottal, hogy ma hány számjegyig tudjuk meghatározni számítógépes módszerrel.

Végére meg beszúrod oldásnak ezt a kis poénos fejtörőt:

Hogyan tehető egyenlővé a két oldal:

[link]

Megoldás: a nevezőből ellopod az egyik függőleges gyufát és felteszed a bal oldali kettőre vízszintesen.

pi = 22/7

Sajnos csak két tizedesig igaz, de jópofa. :)

#2

> amúgy 2-es számrendszerben 1 az utolsó számjegye

Ez nem igaz. A pi végtelen számú számjegyből áll. Végtelen. Azaz nincs vége, nincs utolsó számjegye. Ha lenne valami számjegy, amit utolsónak nevezünk ki, akkor utána írhatunk egy nullát, és máris 0 lesz az utolsó számjegye.

Végtelen sorozatnak nincs utolsó eleme. Ezért hívjuk végtelennek.

#4! Na ne mond! :D

azért 1 az utolsó számjegye mert a 0-át el szokás hagyni tizedes tört esetén! Tehát ha 0 nem lehet akkor marad az 1

ez amolyan vicceskedés, nyilván egy irracionális számról beszélünk... :)

#5

kettes számrendszerben is elhagyjuk a nullát?

#5: Attól tartok, hogy nem sikerült megérteni. A π egy végtelen tizedes tört. Bármilyen egész számrendszerben az. Végtelen, tehát nincs vége, nincs egy utolsó számjegy, amit leírva azt mondhatnánk, hogy a π immáron pontos értékkel van leírva. Bármilyen sok számot is írtál le, az csak közelítő érték lesz, de nem pontos. A π-nek tehát nincs utolsó számjegye. Ami meg nincs, arról meg nem lehet megállapítani, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkezik.

Igen egy racionális szám tizedes – vagy kettedes – tört alakjában valóban elhagyjuk a nullákat a végéről, mert az már nem változtat az eredményen. Bár ez is inkább konvenció, bizonyos esetekben indokolt lehet ki is írni. Például egy m=2,374 kg esetén a szám azt sugallja, hogy ez gramm pontossággal lett lemérve, és a tömeg valahol 2,3735 és 2,3745 kg között van. Egy m=2,374000 kg esetén viszont lehet érzékeltetni, hogy itt milligramm pontosságú mérésről van szó.

Akárhogy is, ha kijelölsz egy utolsó számjegyet, ami szerinted 1, akkor mivel ez az utolsó, lehet utána írni még számjegyeket. Nullákat is. Az egy dolog, hogy leírni nem szoktuk ezeket, de odaírhatóak, és máris nem az utolsó számjegy lesz az, amit te utolsónak feltételeztél.

Röviden: A végtelennek nincs vége, egy végtelen számsorban nincs utolsó számjegy. Ha egy számsornak van utolsó eleme, az azt jelenti, hogy a számsor véges. Márpedig akkor fel lehet írni két szám hányadosaként. Pl. egy 1,15249 számnak van utolsó számjegye, tehát a számsor véges, tehát a szám racionális, fel lehet írni két szám hányadosaként: 115249 / 100000. A π-ről meg tudjuk, hogy irracionális szám, ergo nem lehet felírni két szám hányadosaként, ergo a számjegyeik egy végtelen sort alkotnak, ami azt jelenti, hogy nincs utolsó számjegy.

Hát még ha lebegőpontos binárisba kerül. Ami nem egész szám esetén igen valószínű.

:D

De vegyük Hilbertnek a Grand Hotel-paradoxonját, ami nem valódi paradoxon.

Ugye van egy hotel, aminek végtelen számú szobája van. Teltház van, ami azt jelenti, hogy mindegyik szoba foglalt. Most jön egy vendég, és szeretne egy szobát. A recepciós azt mondja, hogy ugyan teltház van, de fel tud szabadítani egy szobát. Egyszerűen mindenki menjen ki a szobájából, és költözzön át az eggyel magasabb sorszámú szobába. Az 1. szoba lakója a 2. szobába, a 2. szoba lakója a 3. szobába, stb… Ilyen módon az első szoba felszabadul, az új vendég be tud költözni.

Na itt szokott sok embernél leesni a gépszíj, hogy de mi a helyzet azzal, aki az utolsó szobában lakik. Nincs utolsó szoba. Arról volt szó, hogy a hotelnek végtelen számú szobája van. Nem tudsz olyan szobaszámot mondani, aminél ne lenne eggyel nagyobb szobaszám, így mindegyik vendég tovább tud menni eggyel.

Illusztrálhatjuk úgy is, hogy a szobák bitek. 1 jelzi, ha foglalt, 0 jelzi, ha üres. Teltház van, ergo a szobák bitjeit sorban felírva ezt kapjuk: 111111…11111…1111… . Lehet azt mondani, hogy az utolsó számjegy 1-es? Nem. Hiszen akkor az utolsó szoba lakójának nem lenne hova mennie. Akkor mégis kellet, hogy legyen egy 0-ás értékű szoba a végére, ahova az illető beköltözhetne. Lehet azt mondani, hogy akkor az utolsó számjegy 0-ás? Nem, mert arról volt szó, hogy teltház van, ergo nem lehet 0-ás értékű szoba. Mindkettő ellentmondásra vezet, mert egy olyan dolgot feltételeztünk, ami ellentmond a leírásnak, nevezetesen azt, hogy létezik utolsó szoba.

De hozhatunk egy érthető példát, tízes számrendszerben. Mennyi 1/9?

1/9 = 0,111 111 111 …

Ennek a számsornak mi az utolsó számjegye? Logikusnak tűnik azt mondani, hogy 1-es, hiszen minden tizedesvessző utáni számjegy 1-es. Lehetetlen, hogy 0 vagy 2, vagy 2-nél nagyobb számjegy lenne a végén. De nem, ez így nem igaz. Ez egy végtelen tizedes tört. Végtelen, azaz nincs utolsó számjegye. Csak azt lehet mondani, hogy:

lim[i→∞] a[i] = 1

(Ahol i a számjegy sorszáma, a[i] meg az i. számjegy.)

Ez alapján bármelyik véges sorszámú számjegyről – a századik, a milliomodik, a milliárdadik, googolplexplexedik, a Graham-számadik számjegyről – meg lehet mondani, hogy az a számjegy mi. De ennyit lehet elmondani.

~ ~ ~ ~ ~ ~

Egy másik analóg példa némi geometriai illusztrációval. Konstruáljunk egy végtelen szakaszos törtet:

0,123456789 0123456789 0123…

Rajzoljunk fel egy kört és osszuk tíz részre, a részeket jelöljük meg 0-tól 9-ig. Valahogy így: [link]

Oké, elindulunk a tizedesvessző után az 1. cikktől, és megyünk körbe-körbe végtelenszer. Az utolsó számjegy azt a számjegyet jelentené, ahol megállnánk. Na de ha megálltunk, akkor jön a felháborodás, hogy miért álltunk meg, hiszen arról volt szó, hogy végtelenszer fogunk körbe-körbe menni. Soha nem fogunk megállni, így soha nem lesz olyan, hogy „megállási pont”, ami az utolsó számjegyet jelentené. Nincs utolsó számjegy, mert nem állunk meg soha.