A cos (B arccos (x÷A) ) =?

Ha A=1, B=n, akkor ez az elsőfajú n-edfokú Csebisev polinom, persze |x| ≤ 1 esetén.

Tn(x) = cos(n·arccos(x))

A tiéd is felírható a Csebisevvel:

A·Tn(x/A) = A·cos(n·arccos(x/A)), |x| ≤ A esetén

Maga a Csebisev polinom úgy jön ki a koszinuszból, hogy x=cos ϑ helyettesítéssel ez lesz:

Tn(x) = Tn(cos ϑ) = cos(n·ϑ)

n = 0: T₀(x) = T₀(cos ϑ) = cos(0·ϑ) = 1

n = 1: T₁(x) = T₁(cos ϑ) = cos(ϑ) = x

n = 2: T₂(x) = T₂(cos ϑ) = cos(2ϑ) = cos²ϑ - sin²ϑ = 2·cos²ϑ - 1 = 2x² - 1

stb.

A tiéd ebből direktben kijön.

A Csebisev polinomot egy rekurziós képlettel lehet egyszerűen felírni, nem pedig a koszinuszossal. (Hogy mi a kapcsolat a kettő között, annak nézz utána, szerintem tanultátok.)

T_n+1(x) = 2x·T_n(x) - T_n-1(x)

[ami az _ jel után van a zárójelig, az az alsó indexbe kellene menjen, de itt nem tudok olyat írni...]

Amiből az első néhány polinom ez lesz (T₀(x) = 1 és T₁(x) = x a kiindulás):

T₂(x) = 2x² - 1

T₃(x) = 4x³ - 3x

T₄(x) = 8x⁴ - 8x² + 1

stb.

Ezek után a te polinomod (U) ilyen módon vezethető le a Csebisevből (T) (ahogy már előzőleg is írtam) :

U(A,B) = A·T_B(x/A)

Vagyis pl. U(2,2) = 2·T₂(x/2) = 2·(2(x/2)² - 1) = x² - 2

U(4,4) = 4·T₄(x/4) = 4·(8(x/4)⁴ - 8(x/4)² + 1) = x⁴/8 - 2x² + 4

stb.

Egyszerűen behelyettesítettem a polinomokba, nem tértem vissza a koszinuszokhoz, azt Csebisev már megtette.